Bertrand-Paradox-Rechner

原理：在单位圆内随机取一条弦，「弦长大于内接等边三角形边长 √3」的概率是多少？1889 年伯特兰指出：答案取决于「随机」的定义——三种同样自然的均匀机制给出三个不同答案。机制一（随机端点）：圆周上独立均匀取两点，弦长 = 2sin(Δθ/2)，大弦 ⟺ 圆心角超过 120°，概率 = 1/3；机制二（随机半径）：随机取半径再在半径上均匀取中点，距心 d < 1/2 的概率 = 1/2；机制三（随机中点）：在圆盘内均匀取中点，中点落在半径 1/2 的内圆里的概率 = 面积比 = 1/4。这个悖论是几率的经典定义（不充分理由原则）失效的著名案例，直接推动了概率公理化（Kolmogorov 公理体系要求先指定 σ-代数与测度）。

步骤：输入蒙特卡洛试验次数 N，程序用同一伪随机流分别按三种机制抽弦并统计大弦频率，与三个解析答案并列展示。

示例：N = 200000 时三条模拟频率各自贴近 1/3、1/2、1/4（模拟标准误约 0.001）；解析值恒为 0.333333333333、0.500000000000、0.250000000000；距心 0.5 处的弦长恰为 1.732050807569（= √3，临界位置）。

注意事项：蒙特卡洛结果有统计涨落（N 越大越稳），但三条频率的相对次序在任何一次运行中都保持 1/4 < 1/3 < 1/2；三种机制各自的「均匀」定义互不兼容——不存在对三者同时公平的弦分布；本工具使用固定种子的 mulberry32 伪随机流，结果可复现。

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