伯特兰悖论计算器
在圆里随机画一条弦，它的长度超过内接等边三角形边长的概率是多少？1/2、1/3、1/4 三个答案都对——1889 年伯特兰用这个悖论宣告：不先说清「随机」的含义，概率根本无从谈起。这个悖论直接推动了二十世纪的概率公理化。
原理：在单位圆内随机取一条弦，「弦长大于内接等边三角形边长 √3」的概率是多少？1889 年伯特兰指出：答案取决于「随机」的定义——三种同样自然的均匀机制给出三个不同答案。机制一（随机端点）：圆周上独立均匀取两点，弦长 = 2sin(Δθ/2)，大弦 ⟺ 圆心角超过 120°，概率 = 1/3；机制二（随机半径）：随机取半径再在半径上均匀取中点，距心 d < 1/2 的概率 = 1/2；机制三（随机中点）：在圆盘内均匀取中点，中点落在半径 1/2 的内圆里的概率 = 面积比 = 1/4。这个悖论是几率的经典定义（不充分理由原则）失效的著名案例，直接推动了概率公理化（Kolmogorov 公理体系要求先指定 σ-代数与测度）。
步骤：输入蒙特卡洛试验次数 N，程序用同一伪随机流分别按三种机制抽弦并统计大弦频率，与三个解析答案并列展示。
示例：N = 200000 时三条模拟频率各自贴近 1/3、1/2、1/4（模拟标准误约 0.001）；解析值恒为 0.333333333333、0.500000000000、0.250000000000；距心 0.5 处的弦长恰为 1.732050807569（= √3，临界位置）。
注意事项：蒙特卡洛结果有统计涨落（N 越大越稳），但三条频率的相对次序在任何一次运行中都保持 1/4 < 1/3 < 1/2；三种机制各自的「均匀」定义互不兼容——不存在对三者同时公平的弦分布；本工具使用固定种子的 mulberry32 伪随机流，结果可复现。
相关：蒙提霍尔问题是「直觉概率与条件概率冲突」的姊妹案例；生日问题展示均匀假设下的反直觉数值；期望值工具给出概率测度积分的通式。
什么是伯特兰悖论计算器？
伯特兰悖论（Bertrand paradox，1889）：单位圆内「随机」取弦，求弦长大于内接等边三角形边长 √3 的概率。三种同样自然的均匀机制给出三个不同答案，说明「随机取弦」在没有指定分布前是病态问题。
机制一（随机端点）：在圆周上独立均匀取两点连成弦。弦长 L = 2sin(Δθ/2)，Δθ 为小圆心角。L > √3 ⟺ sin(Δθ/2) > √3/2 ⟺ Δθ > 120°，而小角均匀于 [0°, 180°]，概率 = (180° − 120°)/180° = 1/3。
机制二（随机半径）：先均匀取一条半径，再在半径上均匀取一点作弦的中点（弦垂直于半径）。L = 2√(1 − d²)，L > √3 ⟺ d < 1/2，d 均匀于 [0, 1]，概率 = 1/2。
机制三（随机中点）：在圆盘内均匀取一点作弦中点。L > √3 ⟺ 中点落在半径 1/2 的同心圆内，概率 = 面积比 (1/2)² = 1/4。
本工具用同一固定种子伪随机流对三种机制各做 N 次模拟，把模拟频率与解析答案并列——三条频率的相对次序在任何一次运行中都是 1/4 < 1/3 < 1/2。
随机端点法 P = 1/3；随机半径法 P = 1/2；随机中点法 P = 1/4（弦长阈值 √3，单位圆）
端点法：圆心角小角超过 120°；半径法：中点距心 d < 1/2 均匀分布；中点法：中点均匀分布圆盘，内接半径 1/2 圆面积比 = 1/4。
如何使用伯特兰悖论计算器
- 1
输入蒙特卡洛试验次数 N（1000 到 500000，越大越平稳）。
- 2
点击运行得到三种机制的模拟频率与解析概率对照。
- 3
比较三条频率的相对次序与解析值，理解「均匀」的定义差异如何决定答案。
计算示例
例 1N = 200000
端点法 ≈ 0.333（解析 1/3）、半径法 ≈ 0.512 量级波动（解析 1/2）、中点法 ≈ 0.250；模拟标准误约 0.001，三条频率的次序稳定。
例 2临界弦长
距圆心 0.5 处的弦长 = 1.732050807569，恰为 √3——三种机制都在这条临界弦两侧分野。
例 3解析三答案
1/3（端点均匀）、1/2（半径均匀）、1/4（中点均匀）——同一段文字「随机弦」对应三个不相容的概率模型。
注意事项
三种机制互不兼容：端点均匀的弦，其中点在圆盘内不均匀（密度 ∝ 1/√(1 − d²)）；中点均匀的弦，端点也不均匀——不存在同时对三者公平的弦分布。
模拟涨落与种子：固定种子的 mulberry32 流使结果可复现；N 从 1000 提到 500000，频率的标准误从约 0.016 降到 0.001。
概率 = 0 需要指定 σ-代数与测度：伯特兰悖论是 Kolmogorov 1933 年公理化最著名的历史动机之一——「均匀」必须声明作用在哪个空间（圆周、半径、圆盘）。
几何概率的姊妹案例：布丰投针（π 的随机估计）、西尔维斯特四点问题（凸包概率依赖分布）——共同教训是「均匀」永远相对于某个测度。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-01
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Calcton. 伯特兰悖论计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bertrand-paradox, 2026-10-01.
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最后更新：2026-10-01。
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