三门问题模拟器

三门问题是概率论中最反直觉的悖论，1990 年 Parade 杂志专栏给出换门答案后收到近万封反对信，包括近千名博士。关键在主持人的知识：他知道车在哪，且规则要求他必须打开一扇有羊的门。你最初选中的概率是 1/3，车在另外两扇门后的概率是 2/3——主持人开门不创造新信息，只是把 2/3 的概率压缩集中到剩下那扇门上。所以换门胜率 2/3，坚持只有 1/3。

用极端情形理解最透彻：假设 100 扇门，你选 1 扇（1% 中奖），主持人打开 98 扇有羊的门，只剩 1 扇——那扇门集中了 99% 的概率，换不换一目了然。如果主持人也不知道答案随机开门（开出羊是运气），情况就不同了：此时剩下两扇门各 50%。规则细节决定概率结构，这正是贝叶斯思维的精髓。

三门问题的贝叶斯严格证明：设你选 A 门，车在 A/B/C 概率各 1/3。主持人开 B 门（规则：必开羊门）。P(车在A | 开B) = P(开B|车在A)×P(车在A) / P(开B) = (1/2×1/3) / (1/2) = 1/3。P(车在C | 开B) = (1×1/3) / (1/2) = 2/3。关键在 P(开B|车在C) = 1（主持人被迫开 B），而 P(开B|车在A) = 1/2（主持人可在 B/C 间随机选）——信息泄露在主持人的选择自由度差异中。

「主持人不知道答案」的变体彻底反转。若主持人随机开门且恰好开出羊，P(车在A | 开B且是羊) = P(车在C | 开B且是羊) = 50%。因为「开出羊」这个事件本身提供了信息：若车在 B，主持人不可能开出羊，所以「开出羊」排除了车在 B 的假设，剩余 A/C 均匀分布。规则细节（主持人知识、开门约束、是否必给换门机会）决定概率结构，任何模糊表述都会导致悖论。

三门问题的认知科学价值在于「信念固化」实验。1990 年 Parade 专栏后，92% 的读者（包括 PhD）坚持 50/50 错误答案。 fMRI 研究显示：面对反直觉概率时，前额叶皮层（执行控制）激活度与正确答案采纳率正相关，而默认模式网络（直觉思维）激活导致持续错误。训练方法：先学极端版本（100 门），再回归 3 门；或用贝叶斯表格穷举所有 9 种情形（3 车位置 × 3 你的选择）。