飞镖估算π计算器

蒙特卡洛估算 π 基于简单的几何关系：边长 2 的正方形面积 4，内切圆面积 π，随机投点命中圆内的概率 = π/4。所以 π ≈ 4 × 命中数/总点数。这个方法 1946 年由 Ulam 和 von Neumann 在曼哈顿计划中系统化，如今是从金融风险到粒子物理的核心数值工具。它的美在于把确定性几何问题转化为随机采样问题——不需要知道 π 的公式，只需要随机数和计数。

收敛速度是它的短板：误差与 1/√n 成正比，投 100 个点误差约 ±0.16，投 10000 个点才降到 ±0.016。想多一位有效数字，点数要增加 100 倍。相比之下，莱布尼茨级数、马青公式等确定性方法效率高几个数量级。但蒙特卡洛的威力在高维积分——维度灾难让网格法彻底失效，而随机采样的收敛速度与维度无关。

蒙特卡洛方法的收敛速度由中心极限定理严格决定：估计值 π̂ 的标准差 = σ/√n，其中 σ 是单次试验的标准差（伯努利分布 σ = √(p(1−p)) ≈ 0.41）。这意味着误差以 1/√n 速率下降——精度每提升 10 倍，计算量增加 100 倍。对比确定性方法：莱布尼茨级数每项增加 1 位有效数字，马青公式每项 14 位，Chudnovsky 算法每项 14 位。蒙特卡洛在「算 π」这个任务上效率垫底，但在 100 维积分上碾压网格法（后者需要 100^100 个点）。

「准蒙特卡洛」（Quasi-Monte Carlo）用低差异序列（Halton/Sobol）替代伪随机数，收敛速度提升到 O((log n)^d / n)，在 d ≤ 10 维时显著优于标准蒙特卡洛。金融工程中的期权定价（Black-Scholes 高维情形）标配 QMC。但 QMC 的误差估计困难（无中心极限定理保证），且高维时 (log n)^d 项爆炸，d > 20 后反而更差——「维度灾难」的幽灵仍在。

蒙特卡洛的历史是计算史的缩影。1946 年 Ulam 在曼哈顿计划模拟中子扩散时发明，Metropolis 命名「Monte Carlo」（摩纳哥赌场）以保密。1950 年代 ENIAC 首次实现；1980 年代 Metropolis-Hastings 算法推广到贝叶斯统计；2000 年代 MCTS（蒙特卡洛树搜索）驱动 AlphaGo。今天，从药物分子对接（AutoDock）到电影渲染（光线追踪），蒙特卡洛是「暴力美学」的典范——用计算量换解析解的不可能。