骰子点数和概率计算器

多颗骰子的点数和服从离散三角分布：中间值概率最高，两端递减。2 颗六面骰有 36 种等可能组合，和为 7 的组合有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 种，概率 6/36=16.7%；和为 2 只有 (1,1) 一种，概率 2.8%。这个分布是大富翁地产定价、卡坦岛资源点布局的底层逻辑——卡坦岛把 6 和 8 标红点不是偶然，它们的概率仅次于 7。

计算超过 2 颗骰子的分布需要动态规划：f(n,s) = Σf(n-1, s-k)，即 n 颗骰子和为 s 的组合数等于 n-1 颗骰子和为 s-1 到 s-M 的组合数之和。3d6 和为 10 与和为 11 的概率相同（各 27/216=12.5%），因为分布关于 10.5 对称。期望点数和是 n×(M+1)/2，方差是 n×(M²-1)/12，骰子越多分布越接近正态。

骰子点数和的概率分布是离散卷积的经典案例：单颗骰子是均匀分布（每面 1/6），两颗骰子卷积后变成三角分布（峰值在 7），三颗以上逐渐逼近正态分布（中心极限定理的离散版）。数学表达：设 X₁, X₂, ..., Xₙ 为独立同分布的离散均匀随机变量（取值 1 到 M），则和 S = X₁ + X₂ + ... + Xₙ 的分布由 n-1 次卷积给出。生成函数法更优雅：单骰生成函数 G(x) = (x + x² + ... + xᴹ)/M，n 骰和的生成函数是 G(x)ⁿ，展开后 xˢ 的系数即为 P(S=s)。

动态规划是计算多骰分布的实用算法：定义 f(n, s) 为 n 颗骰子和为 s 的组合数，递推关系 f(n, s) = Σ_{k=1}^{M} f(n-1, s-k)，边界条件 f(1, k) = 1（k=1 到 M）。计算 10d6 的完整分布只需 O(n² × M²) = 10² × 6² = 3600 次运算，毫秒级完成。对称性可减半计算量：n 颗 M 面骰的分布关于 n(M+1)/2 对称，即 P(和=s) = P(和=n(M+1)-s)。

桌游设计中的「分布工程」是一门学问：卡坦岛用 2d6 而非 1d12，因为三角分布让中间值（6,7,8）高频出现，边缘值（2,12）稀有，创造「核心资源区」和「边缘开发区」的策略深度。大富翁用 2d6 控制移动速度，期望 7 步/回合，标准差 2.4，保证游戏节奏。战锤 40K 用 d6 而非 d20，因为小方差让「命中判定」更可预测，降低运气成分。DND 用 d20 则相反——大方差创造戏剧性，20 面骰的均匀分布让「暴击」和「大失败」各有 5% 概率。

统计检验中，骰子分布是卡方拟合优度检验的教学案例：掷 600 次 d6，理论期望每面 100 次，实际计数与期望的偏差用 χ² = Σ(O-E)²/E 度量，自由度 5，临界值 11.07（α=0.05）。若 χ² > 11.07，拒绝「骰子均匀」假设。这个方法是赌场检测作弊骰的标准流程，也是密码学随机数发生器质量检验的基础（NIST SP 800-22 包含类似测试）。