Continued-Fractions-Rechner

原理：任何实数都能写成简单连分数 [a₀; a₁, a₂, …]，其中 a₀ 是整数部分、后续项为正整数。有理数的展开有限（欧几里得辗转相除的商序列），无理数的展开无限且唯一。黄金比例是「最无理」的数——它的展开全部是 1：[1; 1, 1, 1, …]；√2 的展开周期性全 2：[1; 2, 2, 2, …]；π 的开头是 [3; 7, 15, 1, 292, …]。收敛子 hₖ/kₖ 给出同分母长度下的最佳有理逼近。

步骤：分数模式输入 p、q，走 BigInt 辗转相除给出精确展开；小数模式按精度 10⁻¹¹ 自动截断。输出全部部分商与末 4 个收敛子的分数与十进制值。

示例：355/113 = [3; 7; 16]；415/93 = [4; 2; 6; 7]；π 的前 4 项 = [3; 7; 15; 1]；√2 的第 5 个收敛子 41/29 ≈ 1.413793103448。

注意事项：355/113 作为独立分数的规范展开是 [3; 7, 16]，而 [3; 7, 15, 1] 是把末项 16 拆开后的等价写法（末项为 1 的表示不唯一）；小数模式受浮点精度限制，超过约 15 位有效数字的部分商不可信；收敛子交错地大于/小于真值（偶项偏大、奇项偏小）；连分数在历法设计、齿轮比与公钥密码（RSA 与连分数攻击）中都有直接应用。

相关：黄金比例工具解释全 1 展开与最无理性；佩尔方程工具用 √d 的周期连分数求 x² − d·y² = 1 的解；小数转分数工具是同一欧几里得内核的十进制版本；斐波那契工具的相邻项之比正是黄金比例收敛子序列。