连分数计算器
355/113 精确到小数点后 6 位逼近 π——祖冲之 1500 年前的战绩，靠的正是连分数：把数反复「取整 + 倒过来余下部分」，每一层都给一个最优分数近似。输入分数或小数，看它的连分数骨架与逐级收敛子。
原理：任何实数都能写成简单连分数 [a₀; a₁, a₂, …]，其中 a₀ 是整数部分、后续项为正整数。有理数的展开有限（欧几里得辗转相除的商序列），无理数的展开无限且唯一。黄金比例是「最无理」的数——它的展开全部是 1：[1; 1, 1, 1, …]；√2 的展开周期性全 2：[1; 2, 2, 2, …]；π 的开头是 [3; 7, 15, 1, 292, …]。收敛子 hₖ/kₖ 给出同分母长度下的最佳有理逼近。
步骤：分数模式输入 p、q，走 BigInt 辗转相除给出精确展开；小数模式按精度 10⁻¹¹ 自动截断。输出全部部分商与末 4 个收敛子的分数与十进制值。
示例：355/113 = [3; 7; 16]；415/93 = [4; 2; 6; 7]；π 的前 4 项 = [3; 7; 15; 1]；√2 的第 5 个收敛子 41/29 ≈ 1.413793103448。
注意事项：355/113 作为独立分数的规范展开是 [3; 7, 16]，而 [3; 7, 15, 1] 是把末项 16 拆开后的等价写法（末项为 1 的表示不唯一）；小数模式受浮点精度限制，超过约 15 位有效数字的部分商不可信；收敛子交错地大于/小于真值（偶项偏大、奇项偏小）；连分数在历法设计、齿轮比与公钥密码（RSA 与连分数攻击）中都有直接应用。
相关：黄金比例工具解释全 1 展开与最无理性；佩尔方程工具用 √d 的周期连分数求 x² − d·y² = 1 的解；小数转分数工具是同一欧几里得内核的十进制版本；斐波那契工具的相邻项之比正是黄金比例收敛子序列。
什么是连分数计算器？
连分数把数写成嵌套除法：x = [a₀; a₁, a₂, …]。有理数如 355/113 = [3;7,16] 三层即止；无理数如 π = [3;7,15,1,292,1,…] 无限展开。它是欧几里得辗转相除的「数值版」——每一层就是一次商与余数。
收敛子（前 k 层截断的分数）是无理数逼近的冠军：任何分母 ≤ qₖ 的分数都不比 pₖ/qₖ 更接近 x（最佳逼近定理）。355/113 的误差 2.7×10⁻⁷，分母 113 就达到——同分母档位没有对手。
模式即身份：√2 = [1;2,2,2,…]（全 2）、黄金比 φ = [1;1,1,…]（全 1，所有无理数里「最难逼近」的一个）、e = [2;1,2,1,1,4,1,…]（模式规律却不循环）。二次无理数 ⟺ 循环连分数（拉格朗日定理），√3 = [1;1,2,1,2,…]。
收敛子递推零开销：pₖ = aₖpₖ₋₁ + pₖ₋₂、qₖ = aₖqₖ₋₁ + qₖ₋₂，只需记两代。误差自动 ≤ 1/qₖ²，比十进制截断（误差 ~1/qₖ）质上更优。
本工具支持两种输入：有理数（BigInt 精确展开，规范表示）与小数（误差阈值 10⁻⁹ 内停止），输出全部系数、收敛子表（分数 + 数值 + 误差），并标注循环模式与最佳逼近特性。
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …))，记 [a₀; a₁, a₂, …]；收敛子 |x − pₖ/qₖ| < 1/(qₖqₖ₊₁)
有理数展开必终止；无理数展开无穷。规范表示约定末项 aₙ > 1（aₙ = 1 时并入前项）；二次无理数展开最终循环。
如何使用连分数计算器
- 1
选模式：输入分数 a/b（BigInt 精确）或小数（容差停止）。
- 2
点击展开，得到连分数系数串与逐级收敛子表。
- 3
对照收敛子误差列，观察误差随 q 增长的 1/q² 骤降。
计算示例
例 1355/113
= [3;7,16]——祖冲之密率。收敛子 3、22/7、333/106、355/113 逐级逼 π：22/7 误差 0.0013，355/113 误差 2.7×10⁻⁷。
例 2415/93
= [4;2,6,7]——辗转相除 415÷93=4 余 43、93÷43=2 余 7、43÷7=6 余 1、7÷1=7，商序列即连分数。
例 3√2
= [1;2,2,2,…] 全 2 循环；收敛子 1、3/2、7/5、17/12、41/29（≈1.41379）……pₖ/qₖ 给出手工开方的最佳分数。
例 4π
= [3;7,15,1,292,…]——第 5 项 292 特别大，导致 355/113 之后突然出现超级逼近 103993/33102（9 位精度），是连分数「局部项越大逼近越猛」的活教材。
注意事项
末项规范：有理数展开有两种写法（[3;7,16] 与 [3;7,15,1]），约定取末项 > 1 的规范形——工具按此输出，别把 π 展开语境的 [3;7,15,1] 与 355/113 混淆。
小数展开受浮点精度限制：输入 3.141592653589793 只能展开到约 9 层，之后系数是浮点噪声——要完整展开 π 请用有理数模式输入已知分数。
「最佳逼近」分两种：第一类（所有更近者分母更大）与第二类（|qx − p| 最小）；工具标注的是第二类，它是连分数收敛子的天然属性。
黄金比 φ = [1;1,1,…] 的系数全 1 意味着它的收敛子逼近得「最慢」——这是 Hurwitz 定理（任何无理数都有无穷多个 |x − p/q| < 1/(√5 q²) 的逼近，√5 界对 φ 最紧）的来源。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-02
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Calcton. 连分数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/continued-fractions, 2026-10-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-02。
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