Lemniscate-Constant-Rechner

双纽线常数 ϖ（读作 varpi，形似 π 的手写体）是 Bernoulli 双纽线 r² = cos 2θ 一瓣弧长的 2 倍，等于 π/AGM(1, √2)。Gauss 在 1799 年 3 月 30 日的日记里写道：AGM(1, √2) 与 π 的关系「必将开辟分析学全新的领域」——这确实是椭圆函数论的起点，比 Abel 与 Jacobi 早了将近三十年。

页面同时给出三个口径：ϖ = π/AGM(1, √2) = 2.6220575542921198、Gauss 常数 G = 1/AGM(1, √2) = 0.8346268416740731、以及 Γ(1/4)²/(4√(2π)) 的 β 积分交叉验证（两条路径一致到 1e-12）。部分弧长积分 ∫ du/√(1−u⁴) 在 t = 1 处端点奇异，直接 Simpson 会除零，因此逐点积分只在 t 小于 1 时给出。