双纽线常数计算器
ϖ（varpi）是 Bernoulli 双纽线一瓣弧长的 2 倍：椭圆函数论的起点常数。
双纽线常数 ϖ（读作 varpi，形似 π 的手写体）是 Bernoulli 双纽线 r² = cos 2θ 一瓣弧长的 2 倍，等于 π/AGM(1, √2)。Gauss 在 1799 年 3 月 30 日的日记里写道：AGM(1, √2) 与 π 的关系「必将开辟分析学全新的领域」——这确实是椭圆函数论的起点，比 Abel 与 Jacobi 早了将近三十年。
页面同时给出三个口径：ϖ = π/AGM(1, √2) = 2.6220575542921198、Gauss 常数 G = 1/AGM(1, √2) = 0.8346268416740731、以及 Γ(1/4)²/(4√(2π)) 的 β 积分交叉验证（两条路径一致到 1e-12）。部分弧长积分 ∫ du/√(1−u⁴) 在 t = 1 处端点奇异，直接 Simpson 会除零，因此逐点积分只在 t 小于 1 时给出。
参考值
ϖ = 2.6220575542921198，G = 0.8346268416740731
Γ(1/4) = 3.6256099082219083119，Γ(3/4) = 1.2254167024651776451
ϖ/2 = Γ(1/4)√π/(4Γ(3/4))：AGM 与 Γ 函数在双纽线处会师
什么是双纽线常数计算器？
双纽线 r² = cos 2θ 是「到两焦点距离之积为定值」的曲线，形如横置的 8；其弧长积分 ∫dt/√(1−t⁴) 与圆弧长 ∫dt/√(1−t²) 完全同构——把 π 换成 ϖ，整部「双纽线几何」平行展开。Gauss 在 1799 年 3 月 30 日写下：AGM(1, √2) 与 π 的关系「必将开辟分析学全新的领域」。
ϖ 是lemniscatic 椭圆函数的「π」：sin lemniscaticus（sl）函数的周期之半就是 ϖ，Abel 与 Jacobi 的椭圆函数论以此为第一个具体舞台。
Γ(1/4) 与 Γ(3/4) 的组合给出 ϖ/2 = Γ(1/4)√π/(4Γ(3/4))：AGM 与 Γ 函数在双纽线处会师，这是超几何函数 Γ(1/4)²/(√(2π)) 家族的第一张名片。
ϖ = π/AGM(1, √2) = 2.6220575542921198，G = 1/AGM(1, √2) = 0.8346268416740731
AGM 平方收敛（5 次迭代达双精度）；β 积分路径 ϖ/2 = Γ(1/4)√π/(4Γ(3/4)) 交叉一致到 1e-12；部分弧长 ∫₀^t du/√(1−u⁴) 在 t = 1 端点奇异，直接积分只对 t 小于 1 给出。
如何使用双纽线常数计算器
- 1
常数区直接读取 ϖ 与 G（AGM 路径），并有 Γ 交叉验证行。
- 2
输入 t（0 ≤ t < 1）读取部分弧长 ∫₀^t du/√(1−u⁴)，t 趋近 1 时部分弧长应趋于 ϖ/2。
- 3
双纽线几何换算：一瓣全长 = ϖ/2 ≈ 1.311，两瓣全长 = ϖ ≈ 2.622。
计算示例
例 1ϖ
ϖ = 2.6220575542921198（两瓣全长）
例 2G
G = 0.8346268416740731（Gauss 常数，AGM(1, √2) 的倒数）
例 3Γ 交叉验证
ϖ/2 = Γ(1/4)√π/(4Γ(3/4))，Γ(1/4) = 3.6256099082219083119，Γ(3/4) = 1.2254167024651776451
例 4单瓣弧长
一瓣 = ϖ/2 = 1.3110287771460599
注意事项
部分弧长积分的被积函数 1/√(1−u⁴) 在 t = 1 处有平方根奇点：数值积分在端点会除零，渐近修正或换元 t = sin lemniscaticus 才能精确到 1。
AGM 迭代 aₙ₊₁ = (aₙ+bₙ)/2、bₙ₊₁ = √(aₙbₙ) 对任意正初值平方收敛——它是 K(m) 与 ϖ 共同的算法引擎。
ϖ/π = 0.834626… 正是 G：Gauss 常数同时是「双纽线周长与圆周长之比」的几何比。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-28
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-28。
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