Beta 函数计算器
输入两个正参数 x、y，本计算器用对数伽马恒等式 B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) 计算 Beta 函数，附倒数与经典特例对照。
什么是Beta 函数计算器？
Beta 函数是欧拉第一类积分：B(x, y) = ∫₀¹ t^(x−1)(1−t)^(y−1) dt，与伽马函数由恒等式 B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) 紧密相连。它在整数点退化为二项式系数：B(m, n) = (m−1)!(n−1)!/(m+n−1)!。
统计学里它是 Beta 分布的归一化常数：密度 t^(x−1)(1−t)^(y−1)/B(x, y) 在 [0,1] 上积分恰好为 1，均值 x/(x+y)。A/B 测试的贝叶斯后验 Beta(α+转化, β+未转化) 每次更新都隐含一次 B 的求值。
B(x, y) = ∫₀¹ t^(x−1)(1−t)^(y−1) dt = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
对 x > 0、y > 0 收敛；对称 B(x, y) = B(y, x)；递推 B(x+1, y) = x/(x+y)·B(x, y)；B(x, 1) = 1/x；B(x, 1−x) = π/sin(πx)。
如何使用Beta 函数计算器
- 1
在输入框填写 x 与 y（均须大于 0）。
- 2
点击「计算 B(x, y)」。
- 3
查看 B(x, y) 与伽马分解 Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)。
- 4
对照特例行核对 B(1,1) = 1、B(1/2,1/2) = π 等经典值。
计算示例
例 1B
B(1, 1) = 1（均匀分布的归一化）；B(2, 3) = 1/12。
例 2B
B(1/2, 1/2) = π——Wallis 公式 sin^(−1) 积分的源头。
例 3B
B(3.5, 2) = Γ(3.5)Γ(2)/Γ(5.5) = 4/63 ≈ 0.0634920634920635。
注意事项
本工具按实数域计算（x, y > 0）；非正参数时积分发散，需走解析延拓。
直接套 Γ 相乘在参数很大时会溢出，本工具内部全程用 lnΓ 的对数恒等式（exp(lnΓx+lnΓy−lnΓ(x+y))）避免中间量越界。
B(x, y) 的值可小于 1（参数越大越向 t = 1/2 集中）；倒数 1/B 才是 Beta 分布密度的峰值尺度。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. Beta 函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/beta-function, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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