斯特林近似 n! 与误差分析
大数的阶乘无法直接计算，斯特林近似给出高精度替代。输入 n，在对数域对照精确 ln n!、基本斯特林与 1/(12n) 修正版，并给出 1~100 的误差收敛表。
斯特林近似 n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ。大数阶乘直接计算会溢出，工程上在对数域比较：ln n! ≈ n·ln n − n + 0.5·ln(2πn) + 1/(12n)，修正项使相对误差降到 1/(12n²) 量级。
基本斯特林在 n = 10 时相对误差约 8%，加 1/(12n) 修正后降到约 0.8%；误差按 1/(12n²) 衰减，n = 100 时修正后已低于 0.01%。典型应用：二项系数与大 n 组合计数、统计力学熵 S = k·ln W、比较排序下界 Ω(n log n) 的证明。
什么是斯特林近似计算器？
斯特林近似是阶乘函数的渐近展开：n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ。
当 n 大于几十时，n! 本身已大到计算机浮点溢出（170! ≈ 7.3×10³⁰⁶ 是双精度的极限），但对数形式 ln n! = n·ln n − n + 0.5·ln(2πn) + 1/(12n) − … 却温和得多，可以计算任意大的 n。
它源自欧拉-麦克劳林公式对 ln n! = Σ ln k 的展开，是渐近级数的经典范例——级数发散但前几项给出极高精度。
n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ，ln n! = n·ln n − n + 0.5·ln(2πn) + 1/(12n) − 1/(360n³) + …
基本近似的相对误差约 1/(12n)，加第一修正项后降到约 1/(12n²)。
如何使用斯特林近似计算器
- 1
输入目标 n（1 ~ 10,000,000）
- 2
点击计算，得到精确 ln n!、基本斯特林与修正斯特林对照
- 3
查看 1~100 的对照表，观察误差随 n 衰减
- 4
n ≤ 170 时附赠浮点可表示的 n! 精确值
计算示例
例 1n = 10 的误差量级
10! = 3,628,800，ln 10! ≈ 15.1044 基本斯特林 ln ≈ 15.0961，相对误差约 0.83% 加 1/(12n) 修正后误差降到约 0.008% 理论预言：基本误差 ~1/(12n) ≈ 0.83%，修正后 ~1/(12n²) ≈ 0.083%——与实测吻合
例 2n = 1,000,000 的组合计数
ln(10⁶!) ≈ 10⁶·13.8155 − 10⁶ + 7.8 + 8.3e-8 ≈ 1.28155×10⁷ 直接乘法不可行（溢出且要百万次运算），对数公式一步到位 组合概率中 ln C(2n, n) = 2·ln n! − ln(2n)! 用对数差安全计算 这正是统计力学与信息论处理天文数字的标准姿势
注意事项
渐近级数 1/(12n) − 1/(360n³) + 1/(1260n⁵) − … 是发散的：项先减后增，最优截断在最小项处
基本近似低估 n!（差一个 1/(12n) 因子），加修正后从下方逼近
概率论中大偏差估计与 Stirling 公式结合给出二项分布尾部概率的精细刻画
玻尔兹曼熵 S = k·ln W 中 W 常是组合数，Stirling 是把组合数化为可微分形式的桥梁
比较排序下界：n 个元素有 n! 种排列，ln n! ≈ n ln n 即 Ω(n log n) 下界的来源
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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最后更新：2026-09-12。
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