狄利克雷 eta 函数计算器
输入 s，本计算器用欧拉变换加速的交替级数计算 η(s) = Σ(−1)^(k−1)/kˢ，并同步给出 ζ(s) = η(s)/(1 − 2^(1−s))。
闭式与意义
η(1) = ln2；η(2) = π²/12；η(3) = 3·ζ(3)/4 ≈ 0.901542677369696；η(0) = 1/2；η(−1) = 1/4；η(−2) = 0
η(s) = (1 − 2^(1−s))ζ(s) 给 ζ 除去 s = 1 处的极点（括号因子恰为零），因此 eta 是整函数——它是「解析延拓的安全门」：1 − 1/2 + 1/3 − ⋯ 的Grandi 型发散在 η(1) = ln2 处获得 Abel 和。负偶数处 η = 0 对应 ζ 的平凡零点。
什么是狄利克雷 eta 函数计算器？
狄利克雷 eta 函数把调和级数的交错版 Σ(−1)^(k−1)/kˢ 变成全平面解析的工具：因子 η(s) = (1 − 2^(1−s))ζ(s) 在 s = 1 处恰好为零，抵消了 ζ 的极点——因此 η 是整函数（全平面无奇点），是「解析延拓的安全门」。
数值上，交替级数直接求和收敛慢（尾项 O(N^(1−s))），欧拉变换把前 128 项的差分表按 2 的幂加权，使 s ≥ 0.5 时十秒内逼近机器精度。闭式值同样精彩：η(1) = ln2 ≈ 0.693147、η(2) = π²/12 ≈ 0.822467、η(3) = 3ζ(3)/4 ≈ 0.901543（ζ(3) 即 Apery 常数）、η(0) = 1/2（Grandi 级数 1 − 1 + 1 − ⋯ 的 Abel 和）、η(−1) = 1/4、负偶数处 η = 0 对应 ζ 的平凡零点。
η(s) = Σₖ₌₁^∞ (−1)^(k−1)/kˢ = (1 − 2^(1−s))·ζ(s)
η(1) = ln2（1 − 1/2 + 1/3 − ⋯ 的 Abel 和）；η(2) = π²/12；η(3) = 3ζ(3)/4；η(0) = 1/2；η(−1) = 1/4；η(−2) = 0。s ≤ 0 的负偶数对应 ζ 平凡零点。
如何使用狄利克雷 eta 函数计算器
- 1
在输入框填写 s（0 ≤ s ≤ 30，另支持 −1、−2）。
- 2
点击「计算 η(s)」。
- 3
查看 η(s) 的 12 位数值与 ζ(s) 对照。
- 4
s = 1 时 ζ 发散但 η = ln2，工具会特别标注。
计算示例
例 1s
s = 1 → η(1) = ln2 ≈ 0.693147180559945（调和级数的收敛替身）。
例 2s
s = 2 → η(2) = π²/12 ≈ 0.822467033424113，ζ(2) = π²/6。
例 3s
s = 3 → η(3) = 3ζ(3)/4 ≈ 0.901542677369696。
注意事项
η 的欧拉变换基于差分表：Δⁿa₀/2ⁿ⁺¹ 逐层累加，对 s ≥ 0.5 收敛极快；s 接近 0 时级数本身条件变差，建议直接用闭式。
(1 − 2^(1−s)) 因子在 s = 1 处的零点是一阶的，数值相除时会放大误差——本工具对 s ≈ 1 直接返回 ln2 而不做除法。
η(−2n) = 0 与 ζ 的平凡零点一一对应；负奇数处 η = −Bₙ₊₁/(n+1)·(1 − 2^{n+1}) 型闭式（如 η(−1) = 1/4）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 狄利克雷 eta 函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/dirichlet-eta, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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