Shell-Method-Rechner

原理：绕轴旋转时，在 x 处取宽 dx、高 f(x) 的竖直窄条，它扫出一层半径 x、周长 2πx、高 f(x) 的薄筒壳，体积元 dV = 2πx·f(x)·dx，总体积 V = ∫2πx·f(x)dx。与圆盘法相比，柱壳法不需要把 x 解成 y 的函数——「有反函数用盘、没有用壳」。三个预设覆盖典型场景：抛物线 y = x² 绕 y 轴得「碗」，半圆盘绕直径轴得球（此时壳沿轴向堆积，高度变量 y 从 0 到 r），偏轴圆盘绕过圆心的轴得环面——与帕普斯定理的 2π²Rr² 严格一致。

步骤：选预设、填参数、点积分，对照数值结果与闭式。

示例：抛物线预设 V = 1.570796326795（= π/2）；半圆盘 r = 1 得球 V = 4.188790209349（= 4π/3）；环面 R = 3、r = 1 得 V = 59.217626483971（= 2π²Rr²）。

注意事项：环面预设要求 R > r（轴不得穿过生成圆盘）；半圆盘预设的壳积分对 √ 型被积函数在端点导数奇异，数值采用 2000 段复合高斯（误差 < 1e-6），闭式才是精确值；绕 y 轴时壳半径 x 必须非负，若区间跨负数需先按上下支处理。

相关：帕普斯定理工具用「面积 × 质心路程」一步得出同样的环面体积；定积分工具给出数值积分的通用入口。