柱壳法计算器

柱壳法（cylindrical shell method）：求曲线 y = f(x)（f ≥ 0）在 [a, b] 上绕 y 轴旋转所得立体体积的积分方法。在 x 处取宽 dx、高 f(x) 的竖直窄条，旋转后成为半径 x、周长 2πx、高 f(x) 的薄筒壳，体积元 dV = 2πx·f(x)·dx，总体积 V = ∫_a^b 2πx·f(x) dx。

与圆盘法互补：圆盘法沿旋转轴方向切片，要求截面半径能用轴坐标表示（绕 y 轴时要解反函数 x = g(y)）；柱壳法沿垂直轴方向切片，直接使用 y = f(x) 本身——「有反函数用盘、没有用壳」。

三个经典结果都能一行算出：y = x²（x ∈ [0, 1]）绕 y 轴 V = ∫2πx·x²dx = π/2；上半圆盘 y = √(1 − x²)（x ∈ [−1, 1]）绕直径轴（x 轴）旋转成球：壳沿轴向堆积，高度变量 y ∈ [0, r]，V = ∫₀^r 2πy·2√(r²−y²) dy = 4π/3——换元 u = r² − y² 一步算出球体积。

环面即证：圆盘（圆心 (R, 0)、半径 r）绕 y 轴旋转，上下支差 = 2√(r² − (x−R)²)，V = ∫_{R−r}^{R+r} 4πx·√(r² − (x−R)²) dx；换元 u = x − R，奇函数项自动消失，剩余 R·πr²/2 项乘 4π 得 V = 2π²Rr²——与帕普斯定理严格一致。

本工具内置三个预设（抛物线、半圆盘、环面）用 2000 段复合高斯求积数值积分，与闭式 π/2、4π/3、2π²Rr² 对照（误差 < 1e-9 到 1e-6），并给出壳体积元的几何解释。