St-Petersburg-Paradox-Rechner

原理：抛均匀硬币直到首次正面，若第 k 次才出现正面则赔付 2^(k−1) 元。1538 年卡尔达诺提出、1738 年尼古拉·伯努利在圣彼得堡科学院定稿的这个游戏，期望收益 = Σ 2^(k−1)·2^(−k) = Σ 1/2 = ∞，但几乎没人愿意付超过几元钱入场——期望发散与直觉估值之间的鸿沟即「圣彼得堡悖论」。理性化的三条经典出路：其一，有限财富截断——庄家最多赔 2^n 时期望恰为 n/2 + 1（n = 30 也不到 17 元）；其二，效用理论——伯努利用对数效用 U(w) = ln w，期望效用 = Σ 2^(−k)·ln 2^(k−1) = ln 2 ≈ 0.6931，对应公平定价约 2 元；其三，√ 效用给出精确值 (2 + √2)/2 = 1 + √2/2 ≈ 1.7071。

步骤：输入观察上限 n，输出第 n 项赔付、级数前 n 项贡献（每项恒 0.5，级数发散的直接证据）、庄家封顶 2^n 时的截断期望，以及两种效用函数下的定价。

示例：n = 10 时前 10 项贡献 = 5.000000000000，封顶期望 = 6.000000000000；n = 3 时封顶期望 = 2.500000000000；√ 效用定价 = 1.707106781187（理论值 1.707106781187），对数效用 = 0.693147180560（理论值 ln 2 = 0.693147180560）；第 21 次才正面已需赔付 1048576 元。

注意事项：n 上限 60（2^59 已约 5.8 × 10^17，超出日常金额量级）；「期望无穷大」依赖庄家拥有无限资金与无限信用；效用定价对效用函数的选择敏感——悖论的本质是期望值准则在重尾分布上的失效，而非数学错误。

相关：期望值工具给出离散期望的定义式；赌徒破产问题展示有限资金下的对赌结局；凯利公式把效用最大化落实到下注比例。