圣彼得堡悖论计算器
抛硬币直到第一次出现正面，第 k 次才正面就赔 2^(k−1) 元。这个游戏的数学期望是无穷大，却没有理性人愿意为它付超过几块钱——1738 年尼古拉·伯努利在圣彼得堡科学院发表的这个悖论，逼出了效用理论与风险偏好两个现代经济学基石。
原理：抛均匀硬币直到首次正面，若第 k 次才出现正面则赔付 2^(k−1) 元。1538 年卡尔达诺提出、1738 年尼古拉·伯努利在圣彼得堡科学院定稿的这个游戏，期望收益 = Σ 2^(k−1)·2^(−k) = Σ 1/2 = ∞，但几乎没人愿意付超过几元钱入场——期望发散与直觉估值之间的鸿沟即「圣彼得堡悖论」。理性化的三条经典出路：其一，有限财富截断——庄家最多赔 2^n 时期望恰为 n/2 + 1（n = 30 也不到 17 元）；其二，效用理论——伯努利用对数效用 U(w) = ln w，期望效用 = Σ 2^(−k)·ln 2^(k−1) = ln 2 ≈ 0.6931，对应公平定价约 2 元；其三，√ 效用给出精确值 (2 + √2)/2 = 1 + √2/2 ≈ 1.7071。
步骤：输入观察上限 n，输出第 n 项赔付、级数前 n 项贡献（每项恒 0.5，级数发散的直接证据）、庄家封顶 2^n 时的截断期望，以及两种效用函数下的定价。
示例：n = 10 时前 10 项贡献 = 5.000000000000，封顶期望 = 6.000000000000；n = 3 时封顶期望 = 2.500000000000；√ 效用定价 = 1.707106781187（理论值 1.707106781187），对数效用 = 0.693147180560（理论值 ln 2 = 0.693147180560）；第 21 次才正面已需赔付 1048576 元。
注意事项：n 上限 60（2^59 已约 5.8 × 10^17，超出日常金额量级）；「期望无穷大」依赖庄家拥有无限资金与无限信用；效用定价对效用函数的选择敏感——悖论的本质是期望值准则在重尾分布上的失效，而非数学错误。
相关：期望值工具给出离散期望的定义式；赌徒破产问题展示有限资金下的对赌结局；凯利公式把效用最大化落实到下注比例。
什么是圣彼得堡悖论计算器？
圣彼得堡游戏：均匀硬币抛到首次正面为止，第 k 次才正面赔付 2^(k−1) 元（第 1 次正面赔 1 元、第 2 次赔 2 元、第 3 次赔 4 元…）。期望收益 = Σ_{k≥1} 2^(k−1)·2^(−k) = Σ 1/2，部分和随项数线性增长，级数发散到无穷。
悖论在于：期望无穷大，但模拟几局平均只拿到几块钱——因为「巨额赔付」全部压在概率指数级稀薄的尾部（赔 2^20 元需要连续 21 次反面，概率约十亿分之一）。有限理性与有限资金使「期望」失去定价效力。
出路一（截断）：庄家最多赔 2^n 元时期望 E[min(W, 2^n)] = n/2 + 1——n = 30 也不到 17 元；这是「现实资金有限」的数学化。出路二（效用）：伯努利假设效用随财富对数增长，期望效用 = Σ 2^(−k)·ln 2^(k−1) = ln 2，对应公平定价 2 元量级。
√ 效用给出精确闭式：Σ 2^(−k)·√(2^(k−1)) = Σ 2^(−(k+1)/2) = (2 + √2)/2 = 1.707106781187——首项 1/2、公比 1/√2 的几何级数求和。Menger 1934 年指出：只要赔付增长快于任何效用函数，悖论以更极端的形态（圣彼得堡超级游戏）复活。
本工具输入观察上限 n，输出第 n 项赔付、前 n 项贡献（每项恒 0.5）、封顶期望 n/2 + 1 与两种效用定价。
E = Σ 2^(k−1)·2^(−k) = Σ 1/2 = ∞；封顶期望 E[min(W, 2^n)] = n/2 + 1；对数效用定价 = ln 2；√ 效用定价 = (2 + √2)/2
每项贡献 2^(k−1)·2^(−k) = 1/2 恒定，级数发散；庄家赔付封顶 2^n 时，前 n+1 项和 (n+1)/2 加上封顶尾项 1/2 得 n/2 + 1；√ 效用级数 Σ 2^(−(k+1)/2) 是首项 1/2、公比 1/√2 的几何级数。
如何使用圣彼得堡悖论计算器
- 1
输入观察上限 n（1 到 60）。
- 2
点击计算得到第 n 项赔付、级数前 n 项贡献、封顶期望与效用定价。
- 3
对比「期望发散」与「效用定价约 1~2 元」的鸿沟，理解风险态度的量化方式。
计算示例
例 1n = 10
前 10 项贡献 = 5.000000000000（每项 0.5），封顶期望 = 6.000000000000；第 10 次才正面的赔付 = 512 元。
例 2n = 3
封顶期望 = 2.500000000000——庄家最多赔 4 元时游戏只值 2.5 元，直觉估值立刻回来了。
例 3效用定价
√ 效用 = 1.707106781187（理论值 (2+√2)/2），对数效用 = 0.693147180560（理论值 ln 2）——不同风险偏好给出不同的公平价格。
注意事项
n 上限 60：2^59 约 5.8 × 10^17 元，已远超全球经济总量；真实庄家的资金上限比 2^60 更早到来。
「期望无穷大」依赖庄家无限信用：一旦赔付封顶，期望立即退化为 n/2 + 1 的线性增长——悖论是资金假设的产物，不是概率论错误。
对数效用定价对初始财富不敏感（这是对数效用的特性），但√ 效用与线性效用的定价不同；Menger 悖论说明任何无界效用函数都会被更极端的赔付结构击穿。
实验经济学数据：多数被试对单次游戏的出价在 2~25 元之间，与封顶期望（资金约束下的真实期望）高度吻合——人们不自觉地按截断模型定价。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-01
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最后更新：2026-10-01。
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