Superellipse-Rechner

原理

超椭圆（superellipse，Lamé 曲线）：|x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1。n = 2 是椭圆，0 < n < 2 向内凹陷（n = 2/3 的特例即星形线），n > 2 向外鼓成「方圆」，n → ∞ 退化为矩形。

面积有 Γ 函数闭式：A = 4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n)（Lanczos 逼近求 Γ）。n = 4、a = b = 1 时 A = 3.708149354603——恰为 √2×ϖ（双纽线常数），一条漂亮的联系。周长无初等闭式（需第一类椭圆积分的推广），故本工具不输出周长。

使用步骤

① 输入半轴 a、b 与指数 n；② 点击计算得到面积与采样点高度；③ 试 n = 1（菱形，A = 2ab）、n = 2（椭圆 πab）、n = 4、n = 10 感受形状演化。

计算示例

a = b = 1：n = 2 时 A = π = 3.141592653590；n = 3 时 A = 3.533277500571；n = 4 时 A = 3.708149354603；n = 6 时 A = 3.855242593320；x = 0.5 处上边界 y(4) = 0.983994835633。

注意事项

Piet Hein 1959 年为斯德哥尔摩塞尔维利亚广场设计 n ≈ 2.5 的「超级椭圆」后，该曲线成为家具与道路设计的经典语言；丹麦 superellipse 家具多用 a/b = 6/5、n = 2.5。

常见问题

Q：为什么不输出周长？A：超椭圆周长涉及一般化的不完全椭圆积分，除 n = 2、n = 1 等特例外无闭式，端点附近的可积奇点也让数值积分收敛缓慢——给出误差不可控的数字不如不给。

Q：n 可以取小数或负数吗？A：0 < n < 2 合法（内凹形，含星形线 2/3）；n ≤ 0 无界或不构成封闭曲线，工具拒绝。