超椭圆计算器
超椭圆（superellipse，Lamé 曲线）|x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1 是椭圆向「方」与「凹」两个方向的推广：n = 2 是椭圆，0 < n < 2 向内凹陷（n = 2/3 即星形线），n > 2 向外鼓成「方圆」，n → ∞ 退化为矩形。面积有 Γ 函数闭式 A = 4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n)。1959 年 Piet Hein 为斯德哥尔摩广场设计 n ≈ 2.5 的超级椭圆后，这条曲线成为家具与道路设计的经典语言。本页输入 a、b、n 即得面积与采样点。
原理
超椭圆（superellipse，Lamé 曲线）：|x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1。n = 2 是椭圆，0 < n < 2 向内凹陷（n = 2/3 的特例即星形线），n > 2 向外鼓成「方圆」，n → ∞ 退化为矩形。
面积有 Γ 函数闭式：A = 4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n)（Lanczos 逼近求 Γ）。n = 4、a = b = 1 时 A = 3.708149354603——恰为 √2×ϖ（双纽线常数），一条漂亮的联系。周长无初等闭式（需第一类椭圆积分的推广），故本工具不输出周长。
使用步骤
① 输入半轴 a、b 与指数 n；② 点击计算得到面积与采样点高度；③ 试 n = 1（菱形，A = 2ab）、n = 2（椭圆 πab）、n = 4、n = 10 感受形状演化。
计算示例
a = b = 1：n = 2 时 A = π = 3.141592653590；n = 3 时 A = 3.533277500571；n = 4 时 A = 3.708149354603；n = 6 时 A = 3.855242593320；x = 0.5 处上边界 y(4) = 0.983994835633。
注意事项
Piet Hein 1959 年为斯德哥尔摩塞尔维利亚广场设计 n ≈ 2.5 的「超级椭圆」后，该曲线成为家具与道路设计的经典语言；丹麦 superellipse 家具多用 a/b = 6/5、n = 2.5。
常见问题
Q：为什么不输出周长？A：超椭圆周长涉及一般化的不完全椭圆积分，除 n = 2、n = 1 等特例外无闭式，端点附近的可积奇点也让数值积分收敛缓慢——给出误差不可控的数字不如不给。
Q：n 可以取小数或负数吗？A：0 < n < 2 合法（内凹形，含星形线 2/3）；n ≤ 0 无界或不构成封闭曲线，工具拒绝。
参考值区（同源数值校验）
Γ(5/4) = 0.906402477055、Γ(3/2) = 0.886226925453（Lanczos g=7，误差 < 1e−13）；a = b = 1、n = 4：Γ 公式 A = 3.708149354603 与 shoelace 72 万点复算一致。
什么是超椭圆计算器？
超椭圆由加布里尔·拉梅 1818 年系统研究，故又称 Lamé 曲线；「superellipse」一名由 Piet Hein 在 1959 年的设计实践中普及。
面积闭式 A = 4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n) 源于 Dirichlet 型积分 ∫∫dxdy 在 |x/a|ⁿ+|y/b|ⁿ ≤ 1 上的换元 u = |x/a|ⁿ：两次 Beta 积分组合出 Γ 函数比。
n = 4、a = b = 1 时面积 = 3.708149354603 = √2·ϖ（ϖ 为双纽线常数 2.622057554292）——两个曲线家族在 Γ 函数处悄然相遇，是椭圆积分理论的漂亮副产品。
指数 n 连续谱两端各有大名鼎鼎的成员：n = 1 是菱形（面积 2ab）、n = 2 是椭圆（πab）、n = 2/3 是星形线（内凹四尖）、n → ∞ 是矩形（4ab）。
Piet Hein 的超级椭圆（n = 2.5，a/b = 6/5）被用于斯德哥尔摩塞尔维利亚广场、巴黎拉德芳斯以及他的家具系列；「squircle」是 iOS 图标设计中 n ≈ 5 的方圆。
|x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1，面积 A = 4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n)，y(x) = b(1 − |x/a|ⁿ)^(1/n)，n → ∞ 时 A → 4ab
a、b 为半轴，n > 0；面积用 Lanczos(g=7) 逼近 Γ 函数（误差 < 1e−13）；周长无闭式，工具不输出。
如何使用超椭圆计算器
- 1
输入半轴 a、b 与指数 n（n = 2 圆、n = 4 方圆、n = 1 菱形、n = 2/3 星形线）。
- 2
点击计算，读取 Γ 公式面积与 x = a/2 处的上边界高度 y。
- 3
用外接矩形面积 4ab 与输出面积的比值衡量「方正程度」：n = 2 时约 0.785，n → ∞ 时趋近 1。
计算示例
例 1a = b = 1 的指数谱
n = 2：A = π = 3.141592653590；n = 3：A = 3.533277500571；n = 4：A = 3.708149354603；n = 6：A = 3.855242593320；n → ∞：A → 4。面积随 n 单调递增。
例 2n = 4 时的采样点
x = 0.5 处上边界 y = (1 − 0.5⁴)^(1/4) = (1 − 0.0625)^(0.25) = 0.983994835633——比同点半径 0.866025 的圆更「满」，这正是方圆的视觉特征。
注意事项
Γ 公式在 n 恰为 2 时退化为 4ab·Γ(3/2)²/Γ(2) = 4ab·(π/4) = πab，与椭圆面积吻合，可作回归测试。
n ≤ 0 无封闭曲线（|x|ⁿ 在 0 处发散或退化），工具拒绝；0 < n < 1 时曲线在轴附近极度内凹，y 值极小但仍有定义。
周长涉及一般化的不完全椭圆积分（除 n = 1、2 外无闭式），端点附近可积奇点使数值收敛缓慢，故不输出——给出误差不可控的数字不如不给。
Lanczos g=7 逼近对 Γ(1+1/n) 的参数范围（> 1）直接适用，无需镜像公式，误差小于 1e−13。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-30
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Calcton. 超椭圆计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/superellipse, 2026-09-30.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-30。
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