Cassini Ovals Calculator

原理：卡西尼卵形线是到两个定点（焦点）距离之积为常数 b² 的点的轨迹，极坐标方程 r⁴ − 2a²r²cos2θ + a⁴ = b⁴，解出 r² = a²cos2θ + √(b⁴ − a⁴sin²2θ)。面积 A = 2∫₀^(π/2) r² dθ（由 cos2θ 的对称性）。当 b = a 时退化为伯努利双纽线 r² = 2a²cos2θ，总面积恰为 2a²；b < a 时曲线分离为两个独立卵形瓣，瓣的范围为 θ ∈ [α, π/2 − α]，其中 α = (1/2)arcsin(b²/a²)。

步骤：输入半焦距 a 与常数 b，计算沿对称轴与垂直方向的半径、总面积并判定形态（单卵形 / 双纽线 / 双瓣）。

示例：a = 1、b = 2 时 r(0) = √5 = 2.236067977500，r(π/2) = √3 = 1.732050807569，总面积 = 12.367658048844；a = 2、b = 1（双瓣）总面积 = 4.197923550385；a = b = 1 双纽线总面积 = 2.000000000000（理论值 2a² = 2）。

注意事项：b < a 时垂直方向 r(π/2) 无定义（sin2θ = 1 使根号内为负），该方向曲线不存在；输入需 a > 0、b > 0。面积在全周期 [0, 2π] 上以 2000 段复合 16 点高斯求积计算（disc < 0 的不可达方向贡献为 0），光滑情形与理论值误差小于 1e-10；b = a 双纽线按闭式 2a² 精确返回。

相关：12.367658048844 为 a = 1、b = 2 的总面积；双纽线极限 2.000000000000；双瓣 4.197923550385。