卡西尼卵形线计算器
到两个定点距离之积为常数的轨迹是卡西尼卵形线——它像一枚绕双焦点的光环：焦点靠近时是一个卵形，恰好等于半焦距时退化成伯努利双纽线，再近就裂成两瓣。输入 a 与 b，看曲线形态与面积如何随比值变化。
原理：卡西尼卵形线是到两个定点（焦点）距离之积为常数 b² 的点的轨迹，极坐标方程 r⁴ − 2a²r²cos2θ + a⁴ = b⁴，解出 r² = a²cos2θ + √(b⁴ − a⁴sin²2θ)。面积 A = 2∫₀^(π/2) r² dθ（由 cos2θ 的对称性）。当 b = a 时退化为伯努利双纽线 r² = 2a²cos2θ，总面积恰为 2a²；b < a 时曲线分离为两个独立卵形瓣，瓣的范围为 θ ∈ [α, π/2 − α]，其中 α = (1/2)arcsin(b²/a²)。
步骤：输入半焦距 a 与常数 b，计算沿对称轴与垂直方向的半径、总面积并判定形态（单卵形 / 双纽线 / 双瓣）。
示例：a = 1、b = 2 时 r(0) = √5 = 2.236067977500，r(π/2) = √3 = 1.732050807569，总面积 = 12.367658048844；a = 2、b = 1（双瓣）总面积 = 4.197923550385；a = b = 1 双纽线总面积 = 2.000000000000（理论值 2a² = 2）。
注意事项：b < a 时垂直方向 r(π/2) 无定义（sin2θ = 1 使根号内为负），该方向曲线不存在；输入需 a > 0、b > 0。面积在全周期 [0, 2π] 上以 2000 段复合 16 点高斯求积计算（disc < 0 的不可达方向贡献为 0），光滑情形与理论值误差小于 1e-10；b = a 双纽线按闭式 2a² 精确返回。
相关：12.367658048844 为 a = 1、b = 2 的总面积；双纽线极限 2.000000000000；双瓣 4.197923550385。
什么是卡西尼卵形线计算器？
卡西尼卵形线（Cassini oval）是到两定点（焦距 2a）距离之积恒等于 b² 的点的轨迹，1670 年由天文学家卡西尼在研究太阳–地球视运动时提出。它是椭圆「乘积版」：椭圆是距离之和为常数，这里是乘积为常数。
极坐标方程 r⁴ − 2a²r²cos2θ + a⁴ = b⁴ 解出 r² = a²cos2θ + √(b⁴ − a⁴sin²2θ)。曲线的形态完全由比值 b/a 决定：b > a 是一个光滑卵形；b = a 在原点处自交成 8 字，即伯努利双纽线；b < a 分裂为两个独立卵形瓣。
面积有对称性福利：r² 关于 cos2θ 周期 π/2 且偶对称，总面积 = 2∫₀^{π/2} r²dθ × 2 = 4∫₀^{π/4}…，b = a 时被积函数化为 2a²cos2θ，积分得闭式总面积 2a²——双纽线围出的两个环面积之和恰好等于边长 a√2 的正方形面积。
b < a 时存在「禁区」：垂直方向附近 r² 的根号内为负，曲线在那里不存在。瓣的角半径 α = (1/2)arcsin(b²/a²)，两瓣分别对称于两个焦点方向。
本工具对任意 a、b > 0 计算沿极轴与垂直方向的半径、全周期面积（2000 段复合高斯求积）与形态判定，光滑情形误差小于 1e-10。
r⁴ − 2a²r²cos2θ + a⁴ = b⁴，r² = a²cos2θ + √(b⁴ − a⁴sin²2θ)；A = 2∫₀^{π/2} r² dθ
b = a 时 r² = 2a²cos2θ 即伯努利双纽线，总面积恰为 2a²；b < a 时曲线分裂为两瓣，瓣角范围由 arcsin(b²/a²) 决定。
如何使用卡西尼卵形线计算器
- 1
输入半焦距 a 与乘积常数 b（均须为正）。
- 2
点击计算得到 r(0)、r(π/2)、总面积与形态判定。
- 3
尝试 b = a 观察双纽线退化（面积恰为 2a²）；再取 b < a 看曲线分裂为两瓣。
计算示例
例 1a = 1、b = 2
r(0) = √5 = 2.236067977500，r(π/2) = √3 = 1.732050807569，总面积 = 12.367658048844，形态为单个卵形。
例 2双纽线极限 a = b = 1
总面积按闭式精确返回 2.000000000000（即 2a²），曲线在原点自交成 8 字。
例 3双瓣 a = 2、b = 1
垂直方向 r(π/2) 不存在（根号内为负），总面积 = 4.197923550385，曲线分裂为围绕两焦点的独立卵形瓣。
注意事项
r(π/2) 仅在 b ≥ a 时存在：θ = π/2 时 sin2θ = 1，根号内为 b⁴ − a⁴，b < a 直接为负——这不是数值误差而是曲线本身不经过该方向。
b/a 只决定形状不决定大小：面积按 a² 缩放，a = 2、b = 2 的面积恰是 a = 1、b = 1 的四倍。
卡西尼卵形线是四次曲线（双焦点二次积），与椭圆（二次曲线）不同，它一般有渐近方向与自交点，研究它常作为代数曲线分类的入门案例。
土星环缝、声学干涉图样中的等强度线都呈卡西尼卵形——两波源干涉场中振幅平方为常数的曲线正是「距离平方和/积」型轨迹。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-01
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Calcton. 卡西尼卵形线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/cassini-ovals, 2026-10-01.
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最后更新：2026-10-01。
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