双曲螺线计算器

双曲螺线（reciprocal spiral）满足 r = a/θ：极径与角度成反比，正如双曲线 xy = 1 的两个变量。它是「倒数」家族在极坐标的成员，θ → ∞ 时螺旋无限逼近原点，θ → 0⁺ 时则射向无穷远。

它最迷人的特征是渐近线：虽然曲线本身永不超过水平线，但 θ → 0⁺ 端的动点 y 坐标 = r·sin θ = a·sin θ/θ → a。也就是说这只无限延伸的螺线臂以直线 y = a 为渐近线——与双曲线的渐近行为完全平行。

扫掠面积出奇地干净：A(θ₁→θ₂) = (a²/2)(1/θ₁ − 1/θ₂)，由 θ 的倒数差决定。转一整圈（2π 到 4π）面积只增加 a²/(4π)——外圈几乎不再增加面积，与费马螺线的等差增长形成两极。

弧长没有初等闭式：L = a∫√(θ⁴ + 1)/θ² dθ 必须数值积分。θ 大时被积函数 ≈ 1/θ，弧长按对数缓慢增长。

本工具输入系数 a 与角度区间 [θ₁, θ₂]，输出面积闭式、数值弧长与端点直角坐标，附渐近线说明。