悬链线计算器
悬链线（catenary）是两端固定、仅受自身重力的均匀柔索的平衡形状，方程为 y = a·cosh(x/a)，其中 a = H/w（H 为最低点水平张力，w 为单位长度重量）。它与抛物线形似而本质不同：把均布载荷沿弧长分布得到悬链线，沿水平分布才是抛物线。本页输入参数 a 与横坐标 x，即得高度、自最低点起的弧长、曲线下面积与任意截面张力。
原理
悬链线（catenary）是两端固定、仅受自身重力的均匀柔索的平衡形状，方程 y = a·cosh(x/a)，其中 a = H/w（H 为最低点水平张力，w 为单位长度重量）。它与抛物线形似而本质不同：均布载荷沿弧长分布得悬链线，沿水平分布（如吊桥）才是抛物线。
弧长 s = a·sinh(x/a)，曲线下面积 = a²·sinh(x/a)（恰为 a×弧长），任意点张力 T = w·y——张力处处沿切线，竖直分量吊起该段索重。
使用步骤
① 输入参数 a 与目标横坐标 x；② 如需张力，填单位长度载荷 w；③ 点击计算得到高度、弧长、面积与张力。
计算示例
a = 1、x = 1 时：y = cosh(1) = 1.543080634815，s = sinh(1) = 1.175201193644，面积 = 1.175201193644；x = 2 时 y = cosh(2) = 3.762195691084，弧长增长到 sinh(2) = 3.626860407847。
注意事项
a 的几何意义是最低点处的曲率半径：a 越大链越「平缓」，a 越小垂得越深。工程上先测垂度与跨距反推 a：设跨距半宽 L/2、垂度 f，则 f = a(cosh(L/2a) − 1)，数值求解即可。
常见问题
Q：悬链线和抛物线怎么区分？A：仅看一段很难肉眼分辨，但悬链线满足 y'' = (1/a)√(1+y'²)，抛物线满足 y'' = 常数。圣彼得大教堂贝尼尼华盖链与高线的争论正是靠这一区别裁定。
Q：为什么倒过来的悬链线是最优拱？A：把悬链线翻转（如圣路易斯拱门），压应力沿曲线处处切向、无弯矩，是纯压状态下的极限形状——罗伯特·胡克 1675 年的著名论断。
参考值区（同源数值校验）
cosh(1) = 1.543080634815、sinh(1) = 1.175201193644；GL16 弧长核 ∫√(1+sinh²(x/a))dx 与解析 a·sinh(x/a) 一致（1.175201193644）。
什么是悬链线计算器？
悬链线一词来自拉丁语 catena（链条）。1691 年莱布尼茨、惠更斯与约翰·伯努利在同样的期限内各自给出了正确答案，回应了雅各布·伯努利一年前的公开挑战。
它的微分方程源于受力平衡：索上任意点张力沿切线，竖直分量恰等于该点以下索段的重量，解出 y'' = √(1+y'²)/a，积分即 y = a·cosh(x/a)。
悬链线的曲率半径在最低点最小、恰为 a，往两端迅速增大；a 越大链越平缓，a 越小垂得越深。
把悬链线倒置（如圣路易斯拱门 192 米高的倒悬链轮廓），压应力沿曲线处处切向、无弯矩，这是罗伯特·胡克 1675 年的著名论断：悬挂的链形即是最优拱形。
工程中输电线路的弧垂、悬索桥主缆（近似）、链拱与帐篷膜结构的找形都从这条曲线出发。
y = a·cosh(x/a)，s = a·sinh(x/a)，面积 = a²·sinh(x/a)，张力 T = w·y = w·a·cosh(x/a)
弧长与面积均自最低点 x = 0 起算到横坐标 x；张力沿切线方向，最低点水平张力 H = w·a。
如何使用悬链线计算器
- 1
输入参数 a（最低点曲率半径 = H/w；不知 a 时可先由跨距与垂度反解）。
- 2
输入横坐标 x（自最低点起算，可为负，曲线关于 y 轴对称）。
- 3
如需张力，填写单位长度载荷 w（默认 1），点击计算读取高度、弧长、面积与张力。
计算示例
例 1a = 1、x = 1 的高度与弧长
y = cosh(1) = 1.543080634815，弧长 s = sinh(1) = 1.175201193644，曲线下面积 = a²·sinh(1) = 1.175201193644；若 w = 1，x = 1 处张力 T = w·y = 1.543080634815。
例 2a = 1、x = 2 的对比
y = cosh(2) = 3.762195691084，s = sinh(2) = 3.626860407847——横坐标翻倍后弧长增长超过 3 倍，说明悬链线在远离最低点处快速上翘，弧长增长由 e^(x/a) 项主导。
注意事项
弧长 s = a·sinh(x/a) 恰好是曲线下面积除以 a，这一巧合源于 cosh 与 sinh 的导数互为对方。
张力公式 T = w·y 与 y = a·cosh(x/a) 联立可得 T² = H² + (w·s)²——竖直分量恰为该段索重 w·s。
大跨距时 e^(x/a) 使数值迅速超出浮点范围，输入 x/a 超过约 710 会溢出，工具以 — 提示。
悬链线与抛物线的肉眼分辨：在半跨 2 倍处两者高度差约 5%，工程测量足以区分。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-30
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 悬链线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/catenary, 2026-09-30.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-30。
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