Catenary Calculator

原理

悬链线（catenary）是两端固定、仅受自身重力的均匀柔索的平衡形状，方程 y = a·cosh(x/a)，其中 a = H/w（H 为最低点水平张力，w 为单位长度重量）。它与抛物线形似而本质不同：均布载荷沿弧长分布得悬链线，沿水平分布（如吊桥）才是抛物线。

弧长 s = a·sinh(x/a)，曲线下面积 = a²·sinh(x/a)（恰为 a×弧长），任意点张力 T = w·y——张力处处沿切线，竖直分量吊起该段索重。

使用步骤

① 输入参数 a 与目标横坐标 x；② 如需张力，填单位长度载荷 w；③ 点击计算得到高度、弧长、面积与张力。

计算示例

a = 1、x = 1 时：y = cosh(1) = 1.543080634815，s = sinh(1) = 1.175201193644，面积 = 1.175201193644；x = 2 时 y = cosh(2) = 3.762195691084，弧长增长到 sinh(2) = 3.626860407847。

注意事项

a 的几何意义是最低点处的曲率半径：a 越大链越「平缓」，a 越小垂得越深。工程上先测垂度与跨距反推 a：设跨距半宽 L/2、垂度 f，则 f = a(cosh(L/2a) − 1)，数值求解即可。

常见问题

Q：悬链线和抛物线怎么区分？A：仅看一段很难肉眼分辨，但悬链线满足 y'' = (1/a)√(1+y'²)，抛物线满足 y'' = 常数。圣彼得大教堂贝尼尼华盖链与高线的争论正是靠这一区别裁定。

Q：为什么倒过来的悬链线是最优拱？A：把悬链线翻转（如圣路易斯拱门），压应力沿曲线处处切向、无弯矩，是纯压状态下的极限形状——罗伯特·胡克 1675 年的著名论断。