曳物线计算器
拽着狗散步画出的曲线：切线段到渐近轴的长度永远不变。
曳物线（tractrix）来自一个可以亲手实验的定义：把长度为 a 的绳子一头拴在狗上、一头拖着一块表沿直线走，表划出的轨迹就是它——所以德语也叫「拽狗曲线」。参数方程 x = a(t − tanh t)、y = a·sech t。
它的标志性性质：曲线上任意一点的切线段到 x 轴的长度恒等于 a。由此衍生出伪球面（把曳物线绕渐近轴旋转）：高斯曲率处处为 −1/a²，是罗巴切夫斯基双曲几何的物理模型，曲率半径处处相同却处处向内弯。
参考值
a = 1、t = 2：x = 1.0359724199242，y = 0.26580222883408
弧长 = ln cosh 2 = 1.3250027473579（与数值积分 ∫tanh t dt 交叉一致）
切线长 = 1 = a（定义性质的数值验证）
什么是曳物线计算器？
曳物线来自一个可以亲手实验的定义：把长度为 a 的绳子一头拴在狗上、一头拖着一块表沿直线走，表划出的轨迹就是它——所以德语也叫「拽狗曲线」（Hundkurve）。参数方程 x = a(t − tanh t)、y = a·sech t。
它的标志性性质：曲线上任意一点的切线段到 x 轴（渐近线）的长度恒等于 a。弦长不变、方向随动，这正是「曳物」二字的力学含义——绳子的张力方向沿切线，长度恒定。
把曳物线绕渐近轴旋转一周得到伪球面：高斯曲率处处为 −1/a²，是罗巴切夫斯基双曲几何的物理模型——曲率半径处处相同却处处向内弯。
x = a(t − tanh t)，y = a·sech t，s = a·ln cosh t
弧长闭式 s = a·ln cosh t 与数值积分 ∫tanh t dt 交叉验证一致；切线长恒等于 a 是定义性质。
如何使用曳物线计算器
- 1
输入牵引长度 a 与参数 t
- 2
读取曲线上点 (x, y) 的坐标
- 3
读取从起点到 t 的弧长（s = a·ln cosh t）
- 4
核对切线长恒等于 a
计算示例
例 1t = 2
a = 1：x = 1.0359724199242，y = 0.26580222883408
例 2弧长
s = ln cosh 2 = 1.3250027473579（与数值积分交叉一致）
例 3切线长
t = 2 处切线长 = 1 = a，对任意 t 成立
注意事项
曲线在 t → ∞ 时 y → 0、x → ∞，x 轴是渐近线（表永远追不上绳子拉直的方向）。
t = 0 是尖点（cusp），曲线在此处的切线垂直向上。
伪球面的双曲几何模型中，测地线在曲面上的表现正是罗氏几何的直线。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-28
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Calcton. 曳物线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/tractrix, 2026-09-28.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-28。
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