费马螺线计算器

费马螺线（也叫抛物螺线）满足 r = a√θ，即 r² = a²θ：极径的平方正比于角度。费马 1636 年用它做切线研究，比微积分发明早了半个世纪，是解析几何早期最成功的例子之一。

与阿基米德螺线 r = aθ 相比，费马螺线起步更陡（θ = 0 处斜率无限）但圈距越转越密：第 k 圈与第 k+1 圈的间距 ∝ 1/√θ 衰减。它有一个漂亮的性质：相邻圈之间的面积是等差数列。

单臂扫过一整圈（θ: 0→2π）的面积是 π²a²/4，负臂（θ 取负、r 取负的对称分支）与之对称构成双臂螺线，总扫掠面积 π²a² ≈ 9.87a²。第 k 环（两圈之间）面积为 π²a²(2k − 1)——奇数等差，与连续整数和形成平方数的美妙呼应。

物理出场：等角速度旋转喷嘴的粒子轨迹（r ∝ √t，θ ∝ t 消去 t 即费马螺线）、某些菊石的螺壳与向日葵种子排布近似它。

本工具输入系数 a 与目标角度 θ，输出该角度的极径、扫掠面积（单臂与双臂）、以及第 k 环面积。