Epitrochoid Calculator

原理：半径 r 的圆沿半径 R 的固定圆外侧无滑动滚动，圆内距圆心 d 的描点轨迹为长短幅圆外旋轮线：x = (R+r)cos t − d·cos((R+r)t/r)，y = (R+r)sin t − d·sin((R+r)t/r)。闭合周期为 t ∈ [0, 2πr/gcd(R,r)]，滚动圆共绕固定圆 r/gcd(R,r) 圈。面积由格林公式 A = (1/2)∮(x dy − y dx) 数值积分。d = r 时退化为外摆线（尖点曲线）；d > r 时出现自交环圈——火星视逆行的托勒密本轮正是一条 d 较大的外旋轮线。

步骤：输入 R、r、d 与参数 t，得到该时刻点坐标、曲线闭合周期、滚动圈数与包围面积。

示例：R = 1、r = 1、d = 1 为心形线，t = π 时坐标 = (-3.000000000000, 4.898587e-16)，面积 = 18.849555921539（理论 6π ≈ 18.849555921539）；R = 2、r = 1、d = 1 为肾脏线（nephroid），面积 = 37.699111843078；R = 5、r = 3 时闭合周期 = 18.849555921539 弧度，滚动圆绕 3 圈。

注意事项：R 与 r 需为正数（建议整数以获得精确闭合周期）；d = 0 轨迹为圆；t 以弧度输入。面积对 d 灵敏——d 每增大 1，心形线族面积线性增长。

相关：37.699111843078 为肾脏线面积（12π）；心形线 18.849555921539；周期 18.849555921539。