Nephroid Calculator

原理

肾脏线（nephroid）是半径 r 的圆沿半径 R = 2r 的固定圆外侧滚动、圆上定点生成的外摆线，含 3 个尖点。参数式 x = 3r·cos t − r·cos 3t、y = 3r·sin t − r·sin 3t。速度模 |v| = 6r·sin t（一个瓣内），积得周长 8(R+r) = 24r；面积代入外摆线公式 π(R+r)(R+2r) = 12πr²。

名字来自希腊语 nephros（肾）：两瓣之间的轮廓像肾脏。茶杯反光焦散线正是肾脏线——阳光下杯壁内缘的亮弧。

使用步骤

① 输入滚动圆半径 r；② 计算面积与周长；③ 需要作图时用参数式取点（结果区给出 t = 1 的示例点）。

计算示例

r = 1：A = 12π = 37.699111843078，L = 24.000000000000；固定圆直径 4；t = 1 时点 ≈ (2.610899414205, 2.383292946364)。

注意事项

工程上「nephroid」有时指双卵形 nephroid 曲面（椭球截体），与本曲线不同。本工具仅处理外摆线意义下的肾脏线。焦散线应用中 r 对应杯底半径，亮弧按本曲线缩放。

常见问题

Q：与 cardioid 的关系？A：cardioid 是 R = r 的外摆线（2 个尖点算 1 个重合），nephroid 是 R = 2r（3 个尖点）。周长 8(R+r) 与面积 π(R+r)(R+2r) 两个公式在 198 批 epicycloid 工具里通用。

Q：为什么咖啡杯焦散线是肾脏线？A：圆弧内壁的入射平行光经一次反射后，反射光线的包络线恰为肾脏线，这是凯莱与德洛内 19 世纪就证明的经典结论。