肾脏线计算器
肾脏线（nephroid）是外摆线族 R/r = 2 的另一成员——半径 r 的圆沿半径 2r 的定圆外侧滚动时圆上定点扫出的双尖曲线，形状像肾脏，nephros 即希腊语"肾"。方程 x = 3r·cos t − r·cos 3t、y = 3r·sin t − r·sin 3t，面积 12πr²、周长 24r 皆为闭式。它是茶杯内壁反光形成的经典亮弧（晨光线 caustic）。本页输入 r 与参数 t 即得面积、周长与坐标。
原理
肾脏线（nephroid）是半径 r 的圆沿半径 R = 2r 的固定圆外侧滚动、圆上定点生成的外摆线，含 3 个尖点。参数式 x = 3r·cos t − r·cos 3t、y = 3r·sin t − r·sin 3t。速度模 |v| = 6r·sin t（一个瓣内），积得周长 8(R+r) = 24r；面积代入外摆线公式 π(R+r)(R+2r) = 12πr²。
名字来自希腊语 nephros（肾）：两瓣之间的轮廓像肾脏。茶杯反光焦散线正是肾脏线——阳光下杯壁内缘的亮弧。
使用步骤
① 输入滚动圆半径 r；② 计算面积与周长；③ 需要作图时用参数式取点（结果区给出 t = 1 的示例点）。
计算示例
r = 1：A = 12π = 37.699111843078，L = 24.000000000000；固定圆直径 4；t = 1 时点 ≈ (2.610899414205, 2.383292946364)。
注意事项
工程上「nephroid」有时指双卵形 nephroid 曲面（椭球截体），与本曲线不同。本工具仅处理外摆线意义下的肾脏线。焦散线应用中 r 对应杯底半径，亮弧按本曲线缩放。
常见问题
Q：与 cardioid 的关系？A：cardioid 是 R = r 的外摆线（2 个尖点算 1 个重合），nephroid 是 R = 2r（3 个尖点）。周长 8(R+r) 与面积 π(R+r)(R+2r) 两个公式在 198 批 epicycloid 工具里通用。
Q：为什么咖啡杯焦散线是肾脏线？A：圆弧内壁的入射平行光经一次反射后，反射光线的包络线恰为肾脏线，这是凯莱与德洛内 19 世纪就证明的经典结论。
参考值区（GL16 数值校验同源）
r = 1：shoelace 72 万点 A = 37.699111843078、L = 24.000000000000，与解析式一致。
什么是肾脏线计算器？
肾脏线由 Huygens 与 Tschirnhausen 在 1678 年研究光的折射时命名，Freycinet 后来将其与肾形相比。
作为 R/r = 2 的外摆线，它有两个尖点、三重对称的曲率结构；当平行光射入圆柱形茶杯内壁时，反射光的包络正是肾脏线——这就是"晨光线"效应，也被《Encyclopaedia》用作曲线章节的经典配图。
解析上 A = 12πr²（定圆面积的 3 倍）、L = 24r。
速度模 |v| = 6r·sin t 在两尖点为零，数值积分以 0 到 π 的单瓣乘 2 最稳。
本工具同时给出参数点坐标，便于绘图与校核。
x(t) = 3r·cos t − r·cos 3t，y(t) = 3r·sin t − r·sin 3t，A = 12πr²，L = 24r，|v| = 6r·sin t
面积与周长按 r = 1 给出；速度模在 t = 0、π（两尖点）处为零。
如何使用肾脏线计算器
- 1
输入尺度参数 r（滚动小圆半径，定圆半径 2r）。
- 2
可选输入参数 t（弧度），查看坐标与速度模。
- 3
点击计算，读取面积 12πr²、周长 24r。
- 4
对比心形线：同参数下肾脏线的尖点从 1 个变 2 个。
计算示例
例 1r = 1：面积与周长？
面积 = 12π ≈ 37.699111841641，周长 = 24；t = π/2 处坐标为 (3·0 − 1·(−1), 3·1 − 1·(−1)·0) = (1, 3)，即曲线最高点附近。
注意事项
肾脏线的尖点在 (±r, 0)（t = 0 与 π），不是上下方向。
速度模 6r·sin t 以 π 为周期，全曲线周长 = 2×∫₀^π 6r·sin t dt = 24r。
茶杯亮弧的实际可见段只是肾脏线的一部分，完整曲线在杯壁内部闭合。
R/r = 2 的内摆线是直径线段（不是曲线），只有外摆版本才生成肾脏线。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-29
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 肾脏线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/nephroid, 2026-09-29.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-29。
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