Lissajous 曲线计算器
示波器上的图案密码：两个互相垂直的振动叠加，频率比与相位差决定曲线的瓣数与形状。
Lissajous 曲线 x = A sin(at+δ)、y = B sin(bt) 是两个垂直简谐振动的合成——示波器上比较两个信号频率时看到的花纹就是它。频率比 a:b 决定花纹的瓣数结构，相位差 δ 决定开口方向；当 δ/2 的正切为有理数时曲线闭合。
周长没有初等公式，需对速度模 |v| = √(A²a²cos²(at+δ)+B²b²cos²bt) 数值积分。特例 1:1 且 δ = π/2 退化为圆（周长 2π ≈ 6.283185307179586）；1:1 且 δ = 0 退化为线段；其余情形周长随频率比与相位连续变化。
参考值（A = B = 1、δ = π/2）
3:2：周长 = 15.289373927751；2:1：周长 = 9.293567524866；1:1：2π = 6.283185307179586
什么是Lissajous 曲线计算器？
Lissajous 图形是两个互相垂直的简谐振动合成后的轨迹：x 方向频率 a、y 方向频率 b、初相位差 δ。19 世纪 Jules Lissajous 用音叉与反射光束第一次把它"唱"了出来，后来成为示波器测量频率比与相位差的标准方法。
形状规则：若 a:b = p:q（最简整数比），曲线有 p 个水平触点、q 个垂直触点（瓣数由此读出）。1:1 且 δ = 90° 时退化为椭圆，A = B 时是圆——这正是旋转矢量的几何。
周长没有初等公式，需要数值积分速度模。1:1、δ = 90°、A = B 时精确退化为圆周长 2πAB/AB = 2π（A = B = 1 时 6.283185307179586），是检验积分精度的天然标尺。
x = A·sin(at+δ)、y = B·sin(bt)，周长 L = ∫√(a²cos²(at+δ)·A² + b²cos²(bt)·B²)dt（无初等闭式）
周长由速度模 |v| = √(v_x²+v_y²) 数值积分（GL16 160 段）；闭合条件是 tan(δ/2) 为有理数，否则轨迹在方框内稠密不闭合。
如何使用Lissajous 曲线计算器
- 1
输入 x 方向幅值 A 与频率 a
- 2
输入 y 方向幅值 B 与频率 b
- 3
输入相位差 δ（弧度）
- 4
读取周期数（闭合所需时间）与周长；对照 1:1 基准
计算示例
例 13:2 图形
A = B = 1、a:b = 3:2、δ = π/2：闭合周期 2π，周长 15.289373927751
例 22:1 图形
A = B = 1、δ = π/2：周长 9.293567524866，形状为横放 8 字
例 3圆退化
a = b = 1、δ = π/2、A = B：周长精确等于 2π = 6.283185307179586
注意事项
δ 以弧度输入；δ = 0 时 1:1 退化为直线段（斜率 B/A）。
频率比为无理数时轨迹永不闭合，本工具按最简整数比处理；要画出稠密网状图形请自行增大周期。
周长随 δ 变化连续：1:1 时从 δ = 0 的直线 4√2·A（若 A = B）连续过渡到 δ = π/2 的圆 2πA。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-29
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-29。
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