nephroid 計算ツール
nephroid 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 肾脏线在线计算器
原理
肾脏线（nephroid）是半径 r 的圆沿半径 R = 2r 的固定圆外侧滚动、圆上定点生成的外摆线，含 3 个尖点。参数式 x = 3r·cos t − r·cos 3t、y = 3r·sin t − r·sin 3t。速度模 |v| = 6r·sin t（一个瓣内），积得周长 8(R+r) = 24r；面积代入外摆线公式 π(R+r)(R+2r) = 12πr²。
名字来自希腊语 nephros（肾）：两瓣之间的轮廓像肾脏。茶杯反光焦散线正是肾脏线——阳光下杯壁内缘的亮弧。
使用步骤
① 输入滚动圆半径 r；② 计算面积与周长；③ 需要作图时用参数式取点（结果区给出 t = 1 的示例点）。
计算示例
r = 1：A = 12π = 37.699111843078，L = 24.000000000000；固定圆直径 4；t = 1 时点 ≈ (2.610899414205, 2.383292946364)。
注意事项
工程上「nephroid」有时指双卵形 nephroid 曲面（椭球截体），与本曲线不同。本工具仅处理外摆线意义下的肾脏线。焦散线应用中 r 对应杯底半径，亮弧按本曲线缩放。
常见问题
Q：与 cardioid 的关系？A：cardioid 是 R = r 的外摆线（2 个尖点算 1 个重合），nephroid 是 R = 2r（3 个尖点）。周长 8(R+r) 与面积 π(R+r)(R+2r) 两个公式在 198 批 epicycloid 工具里通用。
Q：为什么咖啡杯焦散线是肾脏线？A：圆弧内壁的入射平行光经一次反射后，反射光线的包络线恰为肾脏线，这是凯莱与德洛内 19 世纪就证明的经典结论。
参考值区（GL16 数值校验同源）
r = 1：shoelace 72 万点 A = 37.699111843078、L = 24.000000000000，与解析式一致。
nephroid 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
nephroid 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
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数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。