Quadratic Residues Calculator

原理：若 x² ≡ a (mod p) 有解，称 a 是模 p 的二次剩余。欧拉判据：对奇素数 p，a^((p−1)/2) ≡ 1 则剩余、≡ −1 则非剩余——这就是勒让德符号 (a|p)。二次互反律把 (p|q) 与 (q|p) 联系起来（p、q 均为奇素数时 (p|q)(q|p) = (−1)^((p−1)(q−1)/4)），加上补律 (2|p) = (−1)^((p²−1)/8)（p ≡ ±1 mod 8 时为 1）。雅可比符号 (a|n) 把定义推广到奇合数 n，但它为 1 不能推出可解性。

步骤：输入 a 与奇模数 n。工具先检测 n 是否（大概率）素数：素数走欧拉判据给出勒让德符号，并在有解时返回最小平方根（p ≡ 3 mod 4 用公式 a^((p+1)/4)，否则在 1..p−1 内搜索）；合数走二次互反律递归的雅可比符号，并明确提示「伪剩余」风险。

示例：(3|7) = -1（3 是模 7 的非剩余）；(2|7) = 1（3² = 9 ≡ 2）；(5|13) = -1；(10|21) 的雅可比 = -1（(10|3)(10|7) = 1·(−1)）；模 7 的平方根：x² ≡ 2 的解 x = 3 与 4。

注意事项：模数必须是奇数；合数分母上雅可比为 1 时可能无解（如 2 模 15 的雅可比为 1 但 x² ≡ 2 (mod 15) 无解），素性检测用费马概率式（卡迈克尔数会误报，参见素数分类工具）；平方根搜索在 p 很大且 p ≡ 1 mod 4 时较慢（上限 10⁵）；勒让德符号为 0 表示 p 整除 a。

相关：模运算工具给出同余的计算基础；欧拉函数与费马小定理工具支撑欧拉判据；原根工具把二次剩余扩展到指数表；中国剩余定理工具处理合数模数的分解求解。