二次剩余计算器
x² ≡ 2 (mod 7) 有解（x = 3 或 4），x² ≡ 3 (mod 7) 无解——2 是模 7 的二次剩余，3 不是。高斯的二次互反律把 (p|q) 与 (q|p) 镜像相连，是数论「皇冠上的明珠」。输入 a 与模数，判定、求根、算雅可比符号。
原理：若 x² ≡ a (mod p) 有解，称 a 是模 p 的二次剩余。欧拉判据：对奇素数 p，a^((p−1)/2) ≡ 1 则剩余、≡ −1 则非剩余——这就是勒让德符号 (a|p)。二次互反律把 (p|q) 与 (q|p) 联系起来（p、q 均为奇素数时 (p|q)(q|p) = (−1)^((p−1)(q−1)/4)），加上补律 (2|p) = (−1)^((p²−1)/8)（p ≡ ±1 mod 8 时为 1）。雅可比符号 (a|n) 把定义推广到奇合数 n，但它为 1 不能推出可解性。
步骤：输入 a 与奇模数 n。工具先检测 n 是否（大概率）素数：素数走欧拉判据给出勒让德符号，并在有解时返回最小平方根（p ≡ 3 mod 4 用公式 a^((p+1)/4)，否则在 1..p−1 内搜索）；合数走二次互反律递归的雅可比符号，并明确提示「伪剩余」风险。
示例：(3|7) = -1（3 是模 7 的非剩余）；(2|7) = 1（3² = 9 ≡ 2）；(5|13) = -1；(10|21) 的雅可比 = -1（(10|3)(10|7) = 1·(−1)）；模 7 的平方根：x² ≡ 2 的解 x = 3 与 4。
注意事项：模数必须是奇数；合数分母上雅可比为 1 时可能无解（如 2 模 15 的雅可比为 1 但 x² ≡ 2 (mod 15) 无解），素性检测用费马概率式（卡迈克尔数会误报，参见素数分类工具）；平方根搜索在 p 很大且 p ≡ 1 mod 4 时较慢（上限 10⁵）；勒让德符号为 0 表示 p 整除 a。
相关：模运算工具给出同余的计算基础；欧拉函数与费马小定理工具支撑欧拉判据；原根工具把二次剩余扩展到指数表；中国剩余定理工具处理合数模数的分解求解。
什么是二次剩余计算器？
模 p（奇素数）下，若 x² ≡ a (mod p) 有解（x ≠ 0），a 是二次剩余；无解则是非剩余。1 到 p−1 中两者各占 (p−1)/2 个：模 7 的剩余是 {1, 2, 4}（1²=1、2²=4、3²=2），非剩余 {3, 5, 6}——平方运算在乘法群上恰好「二对一」。
欧拉判据一行判定：(a/p) = a^((p−1)/2) mod p ∈ {0, ±1}。它把「找根」降为「一次模幂」——powmod 用快速幂，p 有百万位也只需对数次乘法。
二次互反律（高斯八次证明的定理）：对奇素数 p、q，(q/p)·(p/q) = (−1)^((p−1)/2·(q−1)/2)，外加补充公式 (−1/p) = (−1)^((p−1)/2)、(2/p) = (−1)^((p²−1)/8)。它让大模数的判定递归化为小模数判定，是现代代数数论（互反律家族）的源头。
雅可比符号把勒让德符号推广到奇合模数 n = ∏pᵢ：J(a,n) = ∏(a/pᵢ)。它保留互反律便于计算，但语义变弱：J(a,n) = 1 不保证 a 是剩余——如 J(2,15) = 1，而 x² ≡ 2 (mod 15) 无解（模 3、模 5 一个有一个没有）。
本工具对奇素数模数输出勒让德符号 + 完整根列表（x² ≡ a 有解时用 Tonelli–Shanks 思路求根）；对奇合数输出雅可比符号（二次互反律递归）并提示语义限制；a = 0 或偶模数给出明确提示。
欧拉判据：a^((p−1)/2) ≡ 1 (mod p) ⟺ x² ≡ a 有解；≡ −1 ⟺ 无解；≡ 0 ⟺ p | a
p 为奇素数时 (a/p) 称勒让德符号；p 为奇合数时推广为雅可比符号（二次互反律递归计算，注意雅可比 = 1 不保证有解）。
如何使用二次剩余计算器
- 1
输入整数 a 与奇模数 n（1 < n < 10^7）。
- 2
n 为素数时输出勒让德符号、欧拉判据过程与 x² ≡ a (mod n) 的全部根。
- 3
n 为合数时输出雅可比符号与互反律递归路径，并提示雅可比 = 1 的语义陷阱。
计算示例
例 1(3|7)
3³ = 27 ≡ 6 ≡ −1 (mod 7)——非剩余，x² ≡ 3 (mod 7) 无解；模 7 剩余表 {1,2,4} 直接印证。
例 2(2|7)
2³ = 8 ≡ 1 (mod 7)——剩余，根 x = 3 与 4（3² = 9 ≡ 2、4² = 16 ≡ 2），二根关于 p/2 对称。
例 3(5|13)
5⁶ mod 13 = −1——非剩余；互反律验证：(5|13)·(13|5) = 1 且 (13|5) = (3|5) = −1。
例 4J(10,21)
21 = 3×7，(10|3) = 1、(10|7) = −1 → J = −1（10 不是模 21 剩余）；对照 J(2,15) = 1 却无解——雅可比的陷阱实例。
注意事项
偶模数直接不支持：勒让德/雅可比符号只定义在奇数上；模 2^k 的平方判定要用 Hensel 提升单独分析。
「互反」的负号别记错：(p|q) = (q|p) 仅当 p 或 q ≡ 1 (mod 4)，否则差一个 −1——(3|7) = −1 与 (7|3) = 1 正是反例。
欧拉判据对合数模数无效：a^((n−1)/2) ≡ 1 不保证有解（欧拉伪素数问题）；工具只在素数模数下用判据，合数走雅可比递归。
求根用 Tonelli–Shanks：p ≡ 3 (mod 4) 时根 = ±a^((p+1)/4) 一步出；p ≡ 1 (mod 4) 需找非剩余做开方——工具自动选路径，p < 10⁷ 瞬时完成。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-02
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 二次剩余计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/quadratic-residues, 2026-10-02.
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最后更新：2026-10-02。
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