中国剩余定理计算器
输入同余方程组，逐步构造合并得到最小非负解。
第三组留空模数即按两组方程求解；模数需两两互质。
什么是中国剩余定理计算器？
中国剩余定理（孙子定理）解决同余方程组：x ≡ a₁ (mod m₁)，x ≡ a₂ (mod m₂)，…。
当模数两两互质时解在模 M=m₁m₂…内存在且唯一。
经典问题出自《孙子算经》「物不知数」：某数除三余二、除五余三、除七余二，答二十三。
构造法把每个方程转成贡献项：x = Σ aᵢ·Mᵢ·(Mᵢ⁻¹ mod mᵢ)，其中 Mᵢ = M/mᵢ，逆元用扩展欧几里得求得。
M = m₁·m₂·…·m_k；Mᵢ = M/mᵢ；eᵢ = Mᵢ·(Mᵢ⁻¹ mod mᵢ)；x ≡ Σ aᵢ·eᵢ (mod M)。
模数不互质时需逐对方程合并（gcd 整除余数之差才有解），本工具对互质情形给出构造全过程。
如何使用中国剩余定理计算器
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1. 依次输入 2 到 3 组余数 aᵢ 与模数 mᵢ
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2. 点击计算
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3. 查看互质性检验与每个 Mᵢ 的逆元
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4. 读取合并后的最小非负解与通解 x = x₀ + kM。
计算示例
例 1物不知数：答二十三
物不知数：x≡2 (mod 3)、x≡3 (mod 5)、x≡2 (mod 7)。M=105，M₁=35 在模 3 的逆元为 2（35·2=70≡1），M₂=21 模 5 逆元 1，M₃=15 模 7 逆元 1；x ≡ 2·35·2 + 3·21·1 + 2·15·1 = 140+63+30 = 233 ≡ 23 (mod 105)。最小非负解 23，通解 23+105k。
注意事项
1. 模数必须两两互质，否则需先用合并法化简方程组；2. 最小非负解指 0 ≤ x < M 的代表元；3. 结果模 M 唯一，通解按周期 M 无限延伸；4. 验算时应逐条检查 x mod mᵢ 是否等于 aᵢ。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-05
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最后更新：2026-09-05。
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