线性丢番图方程计算器
输入 a、b、c，判定整数解是否存在并给出通解。
求 ax + by = c 的整数解（a、b、c 均可为负数或 0）
什么是线性丢番图方程计算器？
求 ax+by=c 的整数解的问题称为线性丢番图方程（以古希腊数学家丢番图命名）。
由贝祖等式，gcd(a,b) 是能表示成 ax+by 形式的最小正整数，因此方程有整数解当且仅当 g=gcd(a,b) 整除 c。
扩展欧几里得算法在求最大公约数的同时回代出 x₀、y₀ 使 ax₀+by₀=g，两边乘 c/g 即得特解；通解由齐次方程 ax+by=0 的整数解叠加而成。
贝祖：a·x₀ + b·y₀ = g = gcd(a,b)；特解 X = x₀·(c/g)、Y = y₀·(c/g)；通解 x = X + (b/g)·t，y = Y − (a/g)·t，t ∈ Z。
a、b 允许 0 与负数：b=0 时 g=|a|，解为 x=c/a、y 任意（a 整除 c 时）。
如何使用线性丢番图方程计算器
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1. 输入系数 a、b 与常数 c（可含负数与 0）
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2. 点击计算
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3. 查看可解性判定与贝祖系数
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4. 读取特解、通解表达式，以及正整数解的范围与个数。
计算示例
例 147x + 30y = 1 的整数解
47x + 30y = 1：辗转相除 47=30+17、30=17+13、17=13+4、13=4·3+1，回代得 1=13−3·4=13−3(17−13)=4·13−3·17=4(30−17)−3·17=4·30−7·17=4·30−7(47−30)=11·30−7·47，即 47·(−7)+30·11=1，特解 x=−7、y=11；通解 x=−7+30t、y=11−47t。
注意事项
1. g 不整除 c 时无整数解，连一个都没有；2. 特解不唯一，任何满足方程的整数对都行，通解形式会随之不同但解集相同；3. t 的取值范围可由 x>0、y>0 的不等式组约束，从而统计正整数解个数；4. 韩信点兵、百钱百鸡等问题都可化为丢番图方程。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-05
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最后更新：2026-09-05。
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