Recurrence Relations Calculator

原理：二阶线性常系数齐次递推 uₙ₊₂ = a·uₙ₊₁ + b·uₙ 的解由特征方程 r² − a·r − b = 0 决定：Δ = a² + 4b > 0 时两个相异实根 uₙ = A·r₁ⁿ + B·r₂ⁿ；Δ = 0 重根时 uₙ = (A + B·n)·rⁿ；Δ < 0 复根 r = re ± im·i 时解为衰减/增长的振荡。斐波那契（a = b = 1）给出黄金比例双根 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 与 ψ = −φ⁻¹，比奈公式 uₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5 由此而来。

步骤：输入 a、b 与初值 u₀、u₁，工具解特征方程（按判别式分类），用初值定常数 A、B，输出通项公式与前 10 项数值。

示例：斐波那契 a=b=1、u₀=0、u₁=1：Δ = 5.000000000000，双根 1.618033988750 与 -0.618033988750，前 6 项 0、1、1、2、3、5；uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ + 3uₙ（u₀ = u₁ = 1）：根 3 与 −1，通项 uₙ = ((3ⁿ + (−1)ⁿ)/2)，前 5 项 1、1、5、13、41；uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ − uₙ（u₀ = 1、u₁ = 2）：重根 1，uₙ = 1 + n（等差数列）；uₙ₊₂ = −uₙ：复根 ±i，序列 0、1、0、-1、0、1 周期循环。

注意事项：只支持齐次方程（右端为 0）；非齐次项（如 +f(n)）需要特解叠加，超出本工具范围；Δ 接近 0 时浮点会误判重根/双根（阈值 10⁻¹⁴）；复根情形的通项用 cos/sin 实形式表达，θ 由 arccos(a/(2√−b)) 确定；大 n 时若 |r₁| > 1 通项指数爆炸，12 位显示会转科学计数法。

相关：斐波那契工具是本递推的明星特例；等差与等比数列对应重根与单根的纯形态；泰勒级数工具用连续视角处理同类增长；组合数工具给出另一类离散求和结构。