二阶递推数列计算器
斐波那契 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…每一项是前两项之和——这是二阶线性递推的明星。它的通项藏着黄金比例：uₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5。任何 uₙ₊₂ = a·uₙ₊₁ + b·uₙ 型数列都能这样解：解特征方程，按判别式分类。输入 a、b 与初值，看通项与前 10 项。
原理：二阶线性常系数齐次递推 uₙ₊₂ = a·uₙ₊₁ + b·uₙ 的解由特征方程 r² − a·r − b = 0 决定：Δ = a² + 4b > 0 时两个相异实根 uₙ = A·r₁ⁿ + B·r₂ⁿ；Δ = 0 重根时 uₙ = (A + B·n)·rⁿ；Δ < 0 复根 r = re ± im·i 时解为衰减/增长的振荡。斐波那契（a = b = 1）给出黄金比例双根 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 与 ψ = −φ⁻¹，比奈公式 uₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5 由此而来。
步骤：输入 a、b 与初值 u₀、u₁，工具解特征方程（按判别式分类），用初值定常数 A、B，输出通项公式与前 10 项数值。
示例：斐波那契 a=b=1、u₀=0、u₁=1：Δ = 5.000000000000，双根 1.618033988750 与 -0.618033988750，前 6 项 0、1、1、2、3、5；uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ + 3uₙ（u₀ = u₁ = 1）：根 3 与 −1，通项 uₙ = ((3ⁿ + (−1)ⁿ)/2)，前 5 项 1、1、5、13、41；uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ − uₙ（u₀ = 1、u₁ = 2）：重根 1，uₙ = 1 + n（等差数列）；uₙ₊₂ = −uₙ：复根 ±i，序列 0、1、0、-1、0、1 周期循环。
注意事项：只支持齐次方程（右端为 0）；非齐次项（如 +f(n)）需要特解叠加，超出本工具范围；Δ 接近 0 时浮点会误判重根/双根（阈值 10⁻¹⁴）；复根情形的通项用 cos/sin 实形式表达，θ 由 arccos(a/(2√−b)) 确定；大 n 时若 |r₁| > 1 通项指数爆炸，12 位显示会转科学计数法。
相关：斐波那契工具是本递推的明星特例；等差与等比数列对应重根与单根的纯形态；泰勒级数工具用连续视角处理同类增长；组合数工具给出另一类离散求和结构。
什么是二阶递推数列计算器？
二阶线性常系数齐次递推 uₙ₊₂ = a·uₙ₊₁ + b·uₙ 的解由特征方程 r² − a·r − b = 0 决定。猜 uₙ = rⁿ 代入即得——这是「指数解猜想法」，与常微分方程的特征根法同构。
判别式 Δ = a² + 4b 分三种世界：Δ > 0 两相异实根（指数增长/衰减混合，如 uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ + 3uₙ 的根 3 与 −1）；Δ = 0 重根（多出 n 因子，uₙ = (A + Bn)rⁿ——等差数列是 r = 1 的特例）；Δ < 0 复根（振荡：ρⁿ 乘 cos/sin，衰减、增长或纯周期取决于 ρ 与 1 的大小）。
斐波那契（a = b = 1，u₀ = 0、u₁ = 1）给出黄金比例双根 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 与 ψ = −φ⁻¹ ≈ −0.618，比奈公式 uₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5——看似「整数数列用无理数表示」，但 ψⁿ/√5 恰好抵消全部无理部分。
初值定常数：u₀ = A + B、u₁ = A·r₁ + B·r₂（相异根）解线性方程组即得 A、B；重根时 u₁ = (A + B)r。递推的长期行为由 |r|max 决定：|r|max > 1 指数爆炸、< 1 衰减归零、复根看 ρ。
本工具解特征方程（判别式三分支自动分类）、用初值定 A、B、输出通项公式与前 10 项数值；Δ 接近 0（|Δ| < 10⁻¹⁴）按重根处理防止浮点误判。
特征方程 r² − a·r − b = 0，Δ = a² + 4b；Δ > 0：uₙ = A·r₁ⁿ + B·r₂ⁿ；Δ = 0：uₙ = (A + B·n)·rⁿ；Δ < 0：uₙ = ρⁿ(A·cos nθ + B·sin nθ)
常数 A、B 由初值 u₀、u₁ 定；复根时 ρ = √(−b)（韦达定理 |r₁|² = −b）、θ = arccos(a/(2ρ))。
如何使用二阶递推数列计算器
- 1
输入系数 a、b 与初值 u₀、u₁（实数）。
- 2
点击求解，得到判别式、特征根与通项公式。
- 3
读前 10 项数值序列，与手工递推对照。
计算示例
例 1斐波那契
a = b = 1、u₀ = 0、u₁ = 1：Δ = 5，双根 φ ≈ 1.618 与 ψ ≈ −0.618；通项 uₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5；前 6 项 0、1、1、2、3、5。
例 2uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ + 3uₙ
u₀ = u₁ = 1：Δ = 16，根 3 与 −1；A = B = 1/2，通项 uₙ = (3ⁿ + (−1)ⁿ)/2；前 5 项 1、1、5、13、41——3ⁿ 主导的指数增长。
例 3重根
uₙ₊₂ = 2uₙ₊₁ − uₙ（a = 2、b = −1）、u₀ = 1、u₁ = 2：Δ = 0 重根 r = 1，通项 uₙ = 1 + n——等差数列，重根的 n 因子造出直线增长。
例 4复根振荡
uₙ₊₂ = −uₙ（a = 0、b = −1）、u₀ = 0、u₁ = 1：Δ = −4 复根 ±i（ρ = 1、θ = π/2），序列 0、1、0、−1、0、1 纯周期——ρ = 1 即无衰减振荡。
注意事项
只支持齐次方程：右端有非齐次项（如 +n、+2ⁿ）时需先猜特解叠加，本工具不覆盖；非齐次可拆成「齐次解 + 特解」两层处理。
重根判别阈值 |Δ| < 10⁻¹⁴：Δ 理论为 0 但浮点算出 1e−15 时按重根走，否则「双根几乎相等」的公式会产生灾难性相消。
复根通项的实形式比复数形式实用：uₙ = ρⁿ(A cos nθ + B sin nθ) 直接是实数；用复数写法 A′rⁿ + B′r̄ⁿ 也能算，但常数是复数、解释成本高。
长期行为看 |r|max：斐波那契 |φ| ≈ 1.618 指数增长（大 n 转 12 位科学计数法）；uₙ₊₂ = uₙ₊₁ − uₙ 的复根 ρ = 1 纯周期；|r|max < 1 则衰减归零。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-02
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Calcton. 二阶递推数列计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/recurrence-relations, 2026-10-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-02。
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