Richardson Extrapolation Calculator

原理：中心差分 D(h) = (f(x+h) − f(x−h))/2h 的误差展开是 D(h) = f′(x) + c₂h² + c₄h⁴ + ⋯；用 D(h) 与 D(h/2) 的线性组合 (4D(h/2) − D(h))/3 恰好消去 h² 项，误差阶升至 h⁴，继续外推按 4、16、65 的因子递推。

步骤：① 选函数并输入 x 与 h；② 工具算出 D(h)、D(h/2)、D(h/4)；③ 读两级外推结果与精确导数对比。

示例：sin x 在 x = 1、h = 0.1 时 D(h) = 0.53940225217（误差 9×10^−4），一级外推误差降至 1.1×10^−7，二级外推已到 10^−11 量级。

注意事项：h 过小时浮点相消反而毁掉精度（建议 0.1 到 0.001）；外推假设误差展开只有偶次幂，函数在 x 附近不光滑时失效；龙贝格积分正是同一外推思想在梯形序列上的应用。

相关：龙贝格积分计算器是 Richardson 外推的积分版本；导数与极限工具提供符号视角；泰勒级数解释误差展开为何只有偶次幂。