Trochoid Calculator

原理

余摆线（trochoid，又称余摆线/变幅摆线）：滚圆上距圆心 d 的定点随圆沿直线滚动一周的轨迹，x = at − d·sin t、y = a − d·cos t。d = a 退化为普通摆线；d < a 为短幅（波浪形），d > a 为长幅（带自交的小环）。

速度模 |v| = √(a²+d²−2ad·cos t) 恒正（摆线的尖点在这里被抹平），弧长用 GL16 一周期积分。面积：d ≤ a 时曲线与基线间面积为解析 π(2a²+d²)；d > a 时以两相邻自交点间的「底边闭合」口径数值计算（GL16 + 闭合边修正）。

使用步骤

① 输入滚圆半径 a 与定点距 d；② 点击计算得到弧长、面积与速度范围；③ 对比 d = 0.5 / 1 / 2 观察波形到环形的过渡。

计算示例

a = 1、d = 1（即摆线）：弧长 = 8.000000000000（精确 8a），面积 = 3π = 9.424777960769；a = 1、d = 2：面积 = 25.132741228718（底边闭合口径），弧长 = 13.364893220555。

注意事项

长幅（d > a）时轨迹一周期并不闭合——x 方向前进 2πa，相邻自交点间才围成环；「一周期面积」在本工具按「曲线与两自交点连线（基线段）围成区域」的闭合口径给出。齿轮设计中的齿形曲线即短幅摆线的等距线。

常见问题

Q：摆线、内摆线、余摆线怎么分？A：摆线 = 沿直线滚（d = a）；内摆线 = 沿圆内侧滚；余摆线 = 沿直线滚但定点不在圆周上（d ≠ a）。本工具就是「摆线的 d 参数化推广」。

Q：面积公式 π(2a²+d²) 在 d → 0 时是什么？A：d = 0 轨迹缩成基线上的滚动点，公式退化为 2πa²——这是滚圆自身面积的两倍，正是摆线拱「圆面积两倍」经典结论的连续极限。