余摆线计算器
余摆线（trochoid）是滚圆上距圆心 d 的定点随圆沿直线滚动一周的轨迹：x = at − d·sin t、y = a − d·cos t。d = a 退化为普通摆线；d < a 为短幅（波浪形），d > a 为长幅（带自交小环）。速度模 |v| = √(a²+d²−2ad·cos t) 恒正，曲线处处光滑。一周期弧长由 GL16 数值积分给出，面积按 d ≤ a 解析 π(2a²+d²)、d > a 底边闭合数值双口径输出。本页输入 a、d 即得全部结果。
原理
余摆线（trochoid，又称余摆线/变幅摆线）：滚圆上距圆心 d 的定点随圆沿直线滚动一周的轨迹，x = at − d·sin t、y = a − d·cos t。d = a 退化为普通摆线；d < a 为短幅（波浪形），d > a 为长幅（带自交的小环）。
速度模 |v| = √(a²+d²−2ad·cos t) 恒正（摆线的尖点在这里被抹平），弧长用 GL16 一周期积分。面积：d ≤ a 时曲线与基线间面积为解析 π(2a²+d²)；d > a 时以两相邻自交点间的「底边闭合」口径数值计算（GL16 + 闭合边修正）。
使用步骤
① 输入滚圆半径 a 与定点距 d；② 点击计算得到弧长、面积与速度范围；③ 对比 d = 0.5 / 1 / 2 观察波形到环形的过渡。
计算示例
a = 1、d = 1（即摆线）：弧长 = 8.000000000000（精确 8a），面积 = 3π = 9.424777960769；a = 1、d = 2：面积 = 25.132741228718（底边闭合口径），弧长 = 13.364893220555。
注意事项
长幅（d > a）时轨迹一周期并不闭合——x 方向前进 2πa，相邻自交点间才围成环；「一周期面积」在本工具按「曲线与两自交点连线（基线段）围成区域」的闭合口径给出。齿轮设计中的齿形曲线即短幅摆线的等距线。
常见问题
Q：摆线、内摆线、余摆线怎么分？A：摆线 = 沿直线滚（d = a）；内摆线 = 沿圆内侧滚；余摆线 = 沿直线滚但定点不在圆周上（d ≠ a）。本工具就是「摆线的 d 参数化推广」。
Q：面积公式 π(2a²+d²) 在 d → 0 时是什么？A：d = 0 轨迹缩成基线上的滚动点，公式退化为 2πa²——这是滚圆自身面积的两倍，正是摆线拱「圆面积两倍」经典结论的连续极限。
参考值区（同源数值校验）
a = 1：L(1,1) = 8.000000000000（精确）、A(1,1) = 3π；L(1,0.5) = 6.682446610278、L(1,2) = 13.364893220555；A(1,2) 底边闭合 = 25.132741228718（8π）。
什么是余摆线计算器？
trochoid 来自希腊语 trochos（轮）。它是摆线的参数化推广：把摆线「定点在圆周上」放宽为「定点距圆心 d」，一参数统一了波浪（短幅）、尖拱（d = a）与带环长幅（d > a）三种形态。
速度模 √(a²+d²−2ad·cos t) 永不为零（d ≠ a 时）——摆线尖点在这里被抹平成光滑的波浪谷，这是余摆线在凸轮与齿轮设计中受欢迎的根本原因：无冲击、加速度连续。
面积 π(2a²+d²) 在 d = a 时给出 3πa²，正是摆线拱「圆面积三倍」的经典结论；d → 0 时退化为 2πa²——滚动圆自身面积的两倍。
长幅（d > a）时轨迹一周期不闭合：x 方向前进 2πa，相邻自交点之间才围成一个环；自交需要 d ≥ 2a（环恰好触底），d = 2a 时环底与基线相切。
齿轮工程中摆线齿（cycloidal gear）与转子发动机（Wankel）的缸体型线都是余摆线族的等距线；短幅外摆线（epitrochoid）同理用于行星传动。
x = at − d·sin t，y = a − d·cos t，|v| = √(a²+d²−2ad·cos t)，d ≤ a 面积 = π(2a²+d²)，d > a 底边闭合面积 = |0.5∫g dt + πa(a−d)|（数值）
一周期 t ∈ [0, 2π]，水平前进 2πa；面积口径：d ≤ a 为曲线与基线间解析面积，d > a 为两自交点间「底边闭合」几何面积。
如何使用余摆线计算器
- 1
输入滚圆半径 a 与定点距 d（d = a 得摆线，d < a 波浪，d > a 长幅带环）。
- 2
点击计算，读取一周期弧长（GL16 数值）、面积（按口径自动选择）与速度模范围。
- 3
对比 d = 0.5、1、2 三个值，观察面积口径从解析切换到数值的过渡。
计算示例
例 1a = 1、d = 1（即摆线）
弧长 = 8.000000000000（精确 8a，GL16 复算同值）；面积 = π(2+1) = 3π = 9.424777960769；速度模范围 0 到 2（尖点处速度为零）。
例 2a = 1、d = 2（长幅带环）
面积 = 25.132741228718（底边闭合口径，恰为 8π）；弧长 = 13.364893220555；速度模范围 1 到 3——曲线光滑无尖点，但每周期出现两个自交。
注意事项
d ≤ a 时 x(t) 单调递增（a > d·cos t 恒成立），曲线与基线之间围出「一拱下」的确定区域，解析面积 π(2a²+d²) 由 ∫y dx 直接积分。
d > a 时 x 非单调（回摆），一周期有向面积需加闭合边修正：底边（两自交点连线）贡献 −π·2a(a−d) 的有向面积，工具以 |0.5∫g dt + πa(a−d)| 数值给出。
自交条件：d ≥ 2a 时长幅环的最低点 y = a − d 触及或越过基线 y = 0，相邻周期轨迹相交成环；d = 2 是 a = 1 的触底临界（切而不穿）。
弧长积分 ∫√(a²+d²−2ad·cos t)dt 无初等原函数（椭圆积分型），GL16 16 段在任意 a、d 下误差小于 1e−11。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-30
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引用本页
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Calcton. 余摆线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/trochoid, 2026-09-30.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-30。
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