trochoid 計算ツール
trochoid 計算ツール（無料・オンライン）。数値を入力すると瞬時に結果が表示され、計算式・手順・計算例も確認できます。すべてブラウザ内で計算され、登録は不要です。
中国語版: 余摆线在线计算器
原理
余摆线（trochoid，又称余摆线/变幅摆线）：滚圆上距圆心 d 的定点随圆沿直线滚动一周的轨迹，x = at − d·sin t、y = a − d·cos t。d = a 退化为普通摆线；d < a 为短幅（波浪形），d > a 为长幅（带自交的小环）。
速度模 |v| = √(a²+d²−2ad·cos t) 恒正（摆线的尖点在这里被抹平），弧长用 GL16 一周期积分。面积：d ≤ a 时曲线与基线间面积为解析 π(2a²+d²)；d > a 时以两相邻自交点间的「底边闭合」口径数值计算（GL16 + 闭合边修正）。
使用步骤
① 输入滚圆半径 a 与定点距 d；② 点击计算得到弧长、面积与速度范围；③ 对比 d = 0.5 / 1 / 2 观察波形到环形的过渡。
计算示例
a = 1、d = 1（即摆线）：弧长 = 8.000000000000（精确 8a），面积 = 3π = 9.424777960769；a = 1、d = 2：面积 = 25.132741228718（底边闭合口径），弧长 = 13.364893220555。
注意事项
长幅（d > a）时轨迹一周期并不闭合——x 方向前进 2πa，相邻自交点间才围成环；「一周期面积」在本工具按「曲线与两自交点连线（基线段）围成区域」的闭合口径给出。齿轮设计中的齿形曲线即短幅摆线的等距线。
常见问题
Q：摆线、内摆线、余摆线怎么分？A：摆线 = 沿直线滚（d = a）；内摆线 = 沿圆内侧滚；余摆线 = 沿直线滚但定点不在圆周上（d ≠ a）。本工具就是「摆线的 d 参数化推广」。
Q：面积公式 π(2a²+d²) 在 d → 0 时是什么？A：d = 0 轨迹缩成基线上的滚动点，公式退化为 2πa²——这是滚圆自身面积的两倍，正是摆线拱「圆面积两倍」经典结论的连续极限。
参考值区（同源数值校验）
a = 1：L(1,1) = 8.000000000000（精确）、A(1,1) = 3π；L(1,0.5) = 6.682446610278、L(1,2) = 13.364893220555；A(1,2) 底边闭合 = 25.132741228718（8π）。
trochoid 計算ツールの使い方
- 各入力欄に自分の数値を入力します — 各欄に求める値の説明があります。
- 入力すると結果は即座に更新されます。「計算」ボタンは不要です。
- 結果カードで主要な数値、手順、実務上の注意点を確認できます。
よくある質問
trochoid 計算ツールは無料ですか？
はい — Calcton の数学の計算ツールはすべて無料で、登録も不要です。入力データはブラウザ内で処理され、サーバーには送信されません。
このツールの中国語版はありますか？
はい。上の中国語版へのリンクをご利用ください。同じ計算ツールを簡体字中国語インターフェースで利用できます。
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数学の計算ツールについて
代数・統計・数論・日常算数のための無料オンライン数学計算ツール。二次方程式や行列から、パーセント・分数・素因数分解まで、すべてに計算式と手順を表示します。