RSA 加解密计算器

Q: RSA 加解密计算器 - 公钥私钥生成与模幂演示的操作步骤是什么？

首先，输入素数 p 与 q（演示可用 61 和 53）。 然后，输入公钥指数 e，或勾选自动选取（常用 65537 或 17）。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是RSA 加解密计算器？

RSA 密钥生成三步：选两个素数 p、q，算出模数 n = pq 与欧拉函数 φ(n) = (p−1)(q−1)；选一个与 φ(n) 互质的公钥指数 e；求私钥 d 使 e·d ≡ 1 (mod φ(n))。

加密用公钥 (n, e)：密文 c = mᵉ mod n；解密用私钥 (n, d)：明文 m = c^d mod n。

安全性来自：知道 n 很难反推出 p 和 q（大数分解），没有 p、q 就算不出 d。

n = p·q，φ(n) = (p−1)(q−1)，e·d ≡ 1 (mod φ(n))，加密 c = mᵉ mod n，解密 m = c^d mod n

演示场景请用小素数（如 61、53）；生产环境 RSA 密钥需 2048 位以上，且素数必须随机选取。明文 m 必须小于 n 且与 n 互质以外的情形也能正确解密（模幂逆元存在）。

如何使用RSA 加解密计算器

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输入素数 p 与 q（演示可用 61 和 53）。
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输入公钥指数 e，或勾选自动选取（常用 65537 或 17）。
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输入要加密的明文数字 m（须小于 n）。
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点击计算，依次查看 n、φ(n)、私钥 d、密文 c 与解密还原结果。

计算示例

例 1经典教学例

p = 61，q = 53：n = 3233，φ(n) = 3120，取 e = 17，则 d = 2753（17×2753 = 46801 = 15×3120 + 1）。加密 m = 65：c = 65¹⁷ mod 3233 = 2790；解密 2790²⁷⁵³ mod 3233 = 65。

例 2自选参数

p = 11，q = 13：n = 143，φ(n) = 120，e = 7，d = 103（7×103 = 721 = 6×120 + 1）。加密 m = 9：c = 9⁷ mod 143 = 48；解密 48¹⁰³ mod 143 = 9。

注意事项

明文必须转换为小于 n 的整数；实际系统中会用 OAEP 填充方案，直接对明文模幂是不安全的。
本工具的模幂用快速幂算法计算，即使指数很大也不会溢出；但素数大于十的几十次方量级后，页面运算会明显变慢。
e 必须与 φ(n) 互质，否则不存在模逆元，私钥 d 无法计算；常用 e 为 65537（2¹⁶+1）。
两个素数不能相同，也不能太小——p = q 时 n 的分解一眼即破，教学演示除外。

常见问题

n = p·q，φ(n) = (p−1)(q−1)，e·d ≡ 1 (mod φ(n))，加密 c = mᵉ mod n，解密 m = c^d mod n。演示场景请用小素数（如 61、53）；生产环境 RSA 密钥需 2048 位以上，且素数必须随机选取。明文 m 必须小于 n 且与 n 互质以外的情形也能正确解密（模幂逆元存在）。在RSA 加解密计算器 - 公钥私钥生成与模幂演示计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

明文必须转换为小于 n 的整数；实际系统中会用 OAEP 填充方案，直接对明文模幂是不安全的；本工具的模幂用快速幂算法计算，即使指数很大也不会溢出；但素数大于十的几十次方量级后，页面运算会明显变慢。其余细节见页面注意事项一节。

经典教学例：p = 61，q = 53：n = 3233，φ(n) = 3120，取 e = 17，则 d = 2753（17×2753 = 46801 = 15×3120 + 1）。加密 m = 65：c = 65¹⁷ mod 3233 = 2790；解密 2790²⁷⁵³ mod 3233 = 65。

首先，输入素数 p 与 q（演示可用 61 和 53）。然后，输入公钥指数 e，或勾选自动选取（常用 65537 或 17）。全程在页面内完成，结果即时更新。

RSA 密钥生成三步：选两个素数 p、q，算出模数 n = pq 与欧拉函数 φ(n) = (p−1)(q−1)；选一个与 φ(n) 互质的公钥指数 e；求私钥 d 使 e·d ≡ 1 (mod φ(n))。

两者同属相关计算链条：质因数分解计算器 - 素数判定·素数表·哥德巴赫验证解决的是与之衔接的另一层问题。完成RSA 加解密计算器 - 公钥私钥生成与模幂演示计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到质因数分解计算器 - 素数判定·素数表·哥德巴赫验证继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

自选参数：p = 11，q = 13：n = 143，φ(n) = 120，e = 7，d = 103（7×103 = 721 = 6×120 + 1）。加密 m = 9：c = 9⁷ mod 143 = 48；解密 48¹⁰³ mod 143 = 9。

输入素数 p 与 q（演示可用 61 和 53）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页RSA 加解密计算器 - 公钥私钥生成与模幂演示计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

它的安全前提是：由公开的 n 反推 p、q 需要质因数分解，而对 2048 位大数这在不计代价的前提下不可行。私钥 d 只有知道 φ(n) 才能算出。

公钥 (n, e) 公开发布，任何人可用它加密；私钥 (n, d) 只有接收方持有，用于解密。反过来用私钥签名、公钥验签也是同一套数学。

65537 = 2¹⁶ + 1，二进制只有两个 1，模幂运算快，且足够大以避免低指数攻击，是业界默认值。

RSA 只能加密小于 n 的整数。实际做法是用 AES 等对称算法加密数据，再用 RSA 加密 AES 密钥（混合加密），HTTPS 正是这样工作的。

参考资料

凯文内容作者Calcton IT编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-06-04

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton IT编辑组：RFC 与官方规范及主流实现的行为口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-06-04。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

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