角平分线计算器

角平分线把内角分成两个相等的角。角平分线定理指出：角平分线将对边分成与邻边成比例的两段，即 a 边上的两段之比等于 b:c。这是相似三角形判定中的重要工具。

角平分线长度公式：tₐ=√[bc(1−(a/(b+c))²)]=√[bc−mn]（m、n 为对边被分成的两段），后一形式又称斯图尔特定理的特例。三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等，即内切圆半径。

角平分线是从三角形顶点出发、把顶角平分为二的线段，它的长度公式 tₐ = √[b·c·(1 − (a/(b+c))²)] 连接了角平分线长与三边关系。公式中 a 是被平分角的对边，b、c 是夹该角的两边。这个公式的推导依赖角平分线定理：角平分线把对边分成与邻边成比例的两段，即把 a 分成 b:a 方向比例为 b:c 的两段——这是古希腊就知道的性质，也是角平分线区别于中线（平分对边）与高的本质特征。

角平分线定理本身极其有用：设顶点 A 的角平分线交 BC 于 D，则 BD/DC = AB/AC = c/b。这意味着不用知道角度，仅凭三边就能定位角平分线的落点。它与梅涅劳斯定理、塞瓦定理共同构成三角形点线关系的骨架——三条角平分线必交于一点（内心），正是塞瓦定理在比例为 b:c、c:a、a:b 时乘积为 1 的直接推论。内心是三角形内切圆的圆心，到三边等距。

计算角平分线长的公式不止一个。除 tₐ = √[bc(1 − (a/(b+c))²)] 外，还有半角形式 tₐ = (2bc·cos(A/2))/(b+c)，以及斯台瓦特定理（Stewart theorem）的特例推导。半角形式揭示了一个直观事实：角平分线长永远小于夹边 b、c 的调和平均，且当 b = c（等腰）时简化为 b·cos(A/2)，与高重合。等腰三角形中角平分线、中线、高、垂直平分线四线合一，是特殊情形。

实际应用遍及工程与设计：机械制图中确定角部加强筋的位置；建筑中转角窗、转角柱的居中定位；光学中角反射器（角锥棱镜）利用角平分面实现光线原路返回；体育场地划线中角旗区弧线的圆心定位。测量放样时，「角平分线上任意点到两边距离相等」这一性质常被用来快速设立等距控制点。

使用本工具输入三角形三边即可得到三个顶角各自的角平分线长度。注意输入必须满足三角形不等式（任意两边之和大于第三边），否则公式中根号内可能出现负值——这正是判别输入合法性的数学机制。工具同时给出角平分线分对边的比例，方便直接放样定位。