Bickley-Naylor 函数计算器
Kiₙ 是第三类修正 Bessel 函数 Ki₀ = K₀ 的逐层积分族：中子输运的数学骨架。
Bickley-Naylor 函数 Kiₙ(x) = ∫₀^∞ e^(−x cosh t)·sechⁿt dt 由 W. G. Bickley 在 1930 年代为反应堆屏蔽的中子输运引入，是第三类修正 Bessel 函数 Ki₀ = K₀（第二类修正 Bessel）的逐层积分族：Ki₁(x) = ∫ₓ^∞ K₀(t)dt，Ki₂ 是 Ki₁ 的再积分。恒星大气辐射传输（H 我函数的精确角积分）与平板屏蔽计算都靠它。
积分实现两条路径：Simpson 16000 段直接积到 t = 28（e^(−28·1) ≈ 7e−13 后尾部可忽略）与 8 段 16 点 Gauss-Legendre 复合，一致到 1e-9。三个精确锚点 Ki₁(0) = π/2、Ki₂(0) = 1、Ki₃(0) = π/4 恰好是 sech 与 sech² 的经典积分值，为 x = 0 提供硬校验。
参考值
Ki₁(1) = 0.3282864781711172，Ki₂(1) = 0.2736207520261150，Ki₃(1) = 0.2378450821928554
Ki₁(0) = π/2 = 1.5707963267948966，Ki₂(0) = 1，Ki₃(0) = π/4 = 0.7853981633974483
Kiₙ 逐层关系：Kiₙ′(x) = −Kiₙ₋₁(x)（n 大于 1）
什么是Bickley-Naylor 函数计算器？
W. G. Bickley 在 1930 年代研究平板屏蔽中子注量时引入这族函数：Ki₁(x) = ∫ₓ^∞ K₀(t)dt 是平面源的衰减核，Ki₂、Ki₃ 是体源（线源、体源）逐层卷积的核——反应堆屏蔽设计的「查表时代」就靠它们的手算表。
Kiₙ 的逐层导数结构 Kiₙ′ = −Kiₙ₋₁ 使输运方程的矩方法自动闭合：平板穿透问题的多组矩展开全部落在同一族函数里。
恒星大气的辐射传输用同一套函数：H 函数（Hemisphere 函数）的精确角积分与 Kiₙ 共享 sechⁿ 权重——天体物理与核工程在数学上是一家人。
Kiₙ(x) = ∫₀^∞ e^(−x·cosh t)·sechⁿt dt，Kiₙ′(x) = −Kiₙ₋₁(x)（n 大于 1）
Simpson 16000 段直接积到 t = 28 与 8 段 16 点 Gauss-Legendre 复合双路径（一致 1e-9）；精确锚点 Ki₁(0) = π/2、Ki₂(0) = 1、Ki₃(0) = π/4。
如何使用Bickley-Naylor 函数计算器
- 1
输入阶数 n（1 到 4）与自变量 x（0 ≤ x ≤ 12），读取 Kiₙ(x)。
- 2
交叉验证行给出分片 Gauss-Legendre 独立积分值，两路一致即自检通过。
- 3
x = 0 行给出三个精确锚点：Ki₁(0) = π/2、Ki₂(0) = 1、Ki₃(0) = π/4（sech 经典积分），供零点校准。
计算示例
例 1Ki₁(1)
Ki₁(1) = 0.3282864781711172
例 2Ki₂(1) 与 Ki₃(1)
Ki₂(1) = 0.2736207520261150，Ki₃(1) = 0.2378450821928554
例 3x = 0 精确值
Ki₁(0) = π/2 = 1.5707963267948966，Ki₂(0) = 1，Ki₃(0) = π/4 = 0.7853981633974483
例 4渐近行为
x 大时 Ki₁(x) ≈ √(π/(2x))·e^(−x)（Laplace 尾部）
注意事项
积分区间截断在 t = 28：e^(−28·1) ≈ 7e−13 已到双精度边缘，x 小于 12 时尾部贡献可忽略；x 更大时被积函数更窄反而更易积。
Ki₀ 与第二类修正 Bessel K₀ 完全相同（n = 0 时 sech⁰ = 1）；「Bickley 函数」通常指 n 大于或等于 1 的逐层积分。
Kiₙ 之间的递推 Kiₙ₊₁ = n·Kiₙ − x·Kiₙ′ 需要数值微分，直接积分更稳——本工具不依赖递推。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-28
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引用本页
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Calcton. Bickley-Naylor 函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bickley-function, 2026-09-28.
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最后更新：2026-09-28。
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