半球

半球是球被过球心的平面截得的一半：体积 V = (2÷3)πr³（恰为整球一半），球面面积 2πr²，加上圆形底面后的总表面积 3πr²——注意是整球表面积的 3/4，不是一半，因为切面多出一个圆盘。

「2/3」这个系数有段佳话：阿基米德证明球的体积是外切圆柱的 2/3，把球与圆柱的图形刻在自己的墓碑上。两千年后，同样的比例关系出现在圆顶粮仓、球形储罐的容积核算中。

半球是球被过球心的平面截得的几何体，其体积公式 V = (2÷3)πr³ 恰好是圆柱体积（πr²·r = πr³）的三分之二。祖暅原理（卡瓦列里原理）给出直观解释：半球与同底同高的圆柱减去圆锥等积——「圆柱 − 圆锥 = 半球」，刘徽称之为「牟合方盖」问题的关键一步。

半球的表面积要区分两个口径：球面部分（弯曲表面）= 2πr²，恰好是完整球面积 4πr² 的一半；总表面积 = 3πr²，多出底面圆 πr²。实际应用中必须分清：天文台穹顶的瓦片面积用 2πr²（无底），而碗形储罐的内衬面积若含底则用 3πr²。

半球结构在工程中的优势来自应力分布：球壳受压时薄膜应力均匀分布在整个表面，无应力集中点，因此半球形封头是压力容器的最优形状之一。半球封头的壁厚可以做到同直径圆筒的一半（应力减半），这也是储罐、锅炉端盖常用半球形或近似半球形（椭圆封头）的原因。

半球与圆锥、圆柱的体积比是一个经典结论：同底同高（高 = r）时，圆锥 : 半球 : 圆柱 = 1 : 2 : 3。阿基米德对这一发现极为自豪，遗嘱要求将「圆柱内切球」的图案刻在墓碑上——他证明了球体积是外切圆柱体积的 2/3，半球正是这个比例关系的半份呈现。

天文与地理中的半球概念更为人熟知：地球被赤道面分为南北半球，天球被地平圈分为可见与不可见半球。夜晚任一时刻能看到的星空恰好是一个天半球，恒星时、赤纬与地理纬度共同决定这个半球的内容——这也是天文台选址优先考虑低纬度（能看更多天区）的原因之一。