双曲线参数计算器

双曲线是"到两定点（焦点）距离之差为常数 2a"的轨迹。标准方程 x²/a²−y²/b²=1 中，焦距满足 c²=a²+b²——注意与椭圆相反，双曲线是加号，因此 c 总是最大的参数，离心率 e=c/a>1。

渐近线 y=±(b/a)x 是双曲线无限接近但永不相交的两条直线。a=b 时为等轴双曲线（如反比例函数 y=1/x 旋转 45° 后的形态），其渐近线互相垂直。

双曲线（Hyperbola）是平面内到两定点（焦点 F₁、F₂）距离之差的绝对值为常数 2a 的点的轨迹，恒有 c² = a² + b²（c 为半焦距）。这个「差为定值」与椭圆的「和为定值」互为对偶：椭圆 c² = a² − b² 是「减法」，双曲线 c² = a² + b² 是「加法」——焦点在双曲线中位于曲线外侧（c > a），这正是离心率 e = c/a > 1 的几何含义。

双曲线有两支，渐近线 y = ±(b/a)x 是它的「极限骨架」：曲线无限接近但永不相交。渐近线斜率决定开口的宽窄；b/a 越大张口越阔。等轴双曲线（a = b）的渐近线互相垂直，xy = k 这类反比例函数图像就是旋转 45° 的等轴双曲线——中学里熟悉的 y = 1/x 本质上是标准双曲线的一次旋转。

双曲线的应用深植于「时差定位」原理：LORAN 无线电导航与现代手机 TDOA 定位中，同一信号到达两个基站的时差对应「到两焦点距离差恒定」，即一条双曲线；两组基站定两条双曲线，交点就是目标位置。这一原理也用于地震定位——P 波与 S 波到时差给出的距离差把震源约束在双曲线上。

天文学中双曲线轨道是「一去不复返」的轨迹：离心率 e > 1 的天体以超过逃逸速度掠过中心天体。2017 年发现的星际访客奥陌陌 e ≈ 1.2，2019 年的鲍里索夫彗星 e ≈ 3.36，都是太阳系外的双曲线轨道来客。引力弹弓效应中航天器相对行星的轨迹同样是双曲线，借力加速的增量由渐近线偏转角决定。

工程中的双曲线身影：双曲线型冷却塔利用单叶双曲面的直纹性——曲面可由两族直线母线织成，用直钢筋就能搭出承重强、通风好的薄壳结构；双曲线齿轮（hypoid gear）实现交错轴传动，是汽车后桥差速器的核心；探照灯与某些望远镜副镜的双曲面反射性质（一支焦点发出的光反射后像从另一焦点发出）与椭圆互为对偶。