泰勒展开余项估计计算器
泰勒多项式逼近函数时，误差由余项刻画：Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)·xⁿ⁺¹/(n+1)!。选一个函数与点 x，对比误差上界与真实截断误差，看阶乘如何碾压幂次。
拉格朗日余项：Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)·xⁿ⁺¹/(n+1)!，各阶导数上界 M = e
什么是泰勒余项计算器？
泰勒多项式用 n 阶信息逼近函数，余项 Rₙ 衡量还差多少。
拉格朗日型余项给出可计算的界：|Rₙ| ≤ M·|x|ⁿ⁺¹/(n+1)!。
M 是 (n+1) 阶导数在区间上的最大绝对值。
阶乘增长快于任何幂，所以固定 x 时误差随 n 飞速衰减。
这正是 sin x 等函数在计算器里用有限项展开就足够精确的原因。
Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) · xⁿ⁺¹ / (n+1)!
ξ 介于 0 与 x 之间；上界估计取 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 的最大值 M。
如何使用泰勒余项计算器
- 1
选择函数：eˣ、sin x、cos x 或 1/(1−x)。
- 2
输入展开点 x（麦克劳林展开）。
- 3
结果区列出 n = 2、4、6、8 的余项上界与实际截断误差。
- 4
对比上界与实际值：上界总是更保守，实际收敛往往更快。
计算示例
例 1sin(0.5)
n = 2 时上界 0.5³/3! = 0.0208，实际截断误差约 0.00020——上界保守两个量级。
例 2e^0.5 四项
n = 4 的三阶泰勒和 1.6458…，真值 1.6487，误差 0.0029，上界给 0.0193。
注意事项
上界要求 (n+1) 阶导数在区间上有界，eˣ、sin、cos 在有界区间都满足。
1/(1−x) 只在 |x| < 1 有泰勒级数，x 越靠近 1 收敛越慢。
余项取等点的 ξ 一般不可知，上界法用最大值回避这个问题。
交错级数有更精细的误差界：首个舍去项本身。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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最后更新：2026-09-11。
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