模平方根计算器（Tonelli-Shanks）

Q: 怎么使用模平方根计算器（Tonelli-Shanks）？

首先，输入 a 与素数 p（≤10⁹），点击计算。 然后，工具输出勒让德符号、快捷式或 q·2^s 分解、两个根与验算 x² mod p。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是模平方根 x² ≡ a (mod p)？

在 mod p 世界里「开平方」是密码学（椭圆曲线点压缩）与数论的核心运算。欧拉判据先判 a 是否二次剩余；p ≡ 3 (mod 4) 时 a^((p+1)/4) 一步开方，其余奇素数用 Tonelli-Shanks（1972）：把 p−1 写成 q·2^s，用非剩余 z 逐位修正近似根，期望 O(s²) 次模乘。

x ≡ a^((p+1)/4) (mod p)（p ≡ 3 mod 4）；一般情形用 Tonelli-Shanks 主循环

解存在 ⟺ 勒让德符号 (a/p) = 1；两根互为 x 与 p − x。

如何使用模平方根 x² ≡ a (mod p)

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输入 a 与素数 p（≤10⁹），点击计算。
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工具输出勒让德符号、快捷式或 q·2^s 分解、两个根与验算 x² mod p。

计算示例

例 1p ≡ 3 mod 4 快捷式

x² ≡ 2 (mod 17)：17 ≡ 1? 不——17 ≡ 1 (mod 4) 走主循环；试 x² ≡ 2 (mod 7)：x = 3（9 mod 7 = 2）✓。

例 2主循环例

x² ≡ 2 (mod 17)：q = 1? 分解 16 = 1·2⁴，算法收敛得 x = 6：36 mod 17 = 2 ✓，另一根 11。

注意事项

(a/p) = −1 时直接报告无解——模 p 的平方根只对一半的 a 存在。
p ≡ 3 (mod 4) 的快捷式是主循环 s = 1 的退化，恒一步完成。
p 很大时寻找非剩余 z 平均只需 2 次尝试（一半元素是非剩余）。

常见问题

x ≡ a^((p+1)/4) (mod p)（p ≡ 3 mod 4）；一般情形用 Tonelli-Shanks 主循环。解存在 ⟺ 勒让德符号 (a/p) = 1；两根互为 x 与 p − x。在模平方根计算器（Tonelli-Shanks）计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

(a/p) = −1 时直接报告无解——模 p 的平方根只对一半的 a 存在；p ≡ 3 (mod 4) 的快捷式是主循环 s = 1 的退化，恒一步完成。其余细节见页面注意事项一节。

p ≡ 3 mod 4 快捷式：x² ≡ 2 (mod 17)：17 ≡ 1? 不——17 ≡ 1 (mod 4) 走主循环；试 x² ≡ 2 (mod 7)：x = 3（9 mod 7 = 2）✓。

首先，输入 a 与素数 p（≤10⁹），点击计算。然后，工具输出勒让德符号、快捷式或 q·2^s 分解、两个根与验算 x² mod p。全程在页面内完成，结果即时更新。

在 mod p 世界里「开平方」是密码学（椭圆曲线点压缩）与数论的核心运算。欧拉判据先判 a 是否二次剩余；p ≡ 3 (mod 4) 时 a^((p+1)/4) 一步开方，其余奇素数用 Tonelli-Shanks（1972）：把 p−1 写成 q·2^s，用非剩余 z 逐位修正近似根，期望 O(s²) 次模乘。

两者同属相关计算链条：勒让德符号解决的是与之衔接的另一层问题。完成模平方根计算器（Tonelli-Shanks）计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到勒让德符号在线计算器继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

主循环例：x² ≡ 2 (mod 17)：q = 1? 分解 16 = 1·2⁴，算法收敛得 x = 6：36 mod 17 = 2 ✓，另一根 11。

输入 a 与素数 p（≤10⁹）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页模平方根计算器（Tonelli-Shanks）计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

由 x 坐标恢复 y 坐标要求 y² = x³ + ax + b (mod p) 开方——secp256k1 取 p ≡ 3 (mod 4) 正是为了快捷式的高效。

先对每个素因子用本工具开根，再用 CRT 合并；但合数开根等价于因数分解，大合数模下是难问题（Rabin 加密的原理）。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-17

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-17。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

模平方根 x² ≡ a (mod p)

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注意事项

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