盈数计算器
12 的真因子是 1、2、3、4、6，加起来 16，比 12 本身还多 4——像这样「真因子之和超过自身」的数叫盈数。盈数一点也不稀有：每四个自然数里就有一个左右。输入一个数，看它的因子「家底」是盈余、亏空还是恰好持平。
原理：n 的因子和 σ(n)（含 n 本身）与 2n 比较给出三分法——σ(n) > 2n 称盈数（abundant），σ(n) = 2n 称完美数，σ(n) < 2n 称亏数。盈余量 abundance(n) = σ(n) − 2n，例如 12 的因子和 = 1+2+3+4+6+12 = 28，盈余 4；24 盈余 12。12 是最小盈数，随后是 18、20、24、30、36、40…。奇盈数非常稀少，最小的是 945（σ = 1920，盈余 30），1000 以内只有 16 个。盈数密度随范围增大而增长：从 10000 到 20000 之间约每 4 个数就有 1 个盈数。
步骤：输入一个正整数，得到 σ(n)、盈余量与盈/亏/完美分类，以及不超过 n 的前 12 个盈数（从 12 起枚举，试除法 O(√n) 求因子和）。
示例：n = 12 时盈余量 = 4.000000000000、σ = 28.000000000000；n = 24 时盈余量 = 12.000000000000；n = 945 时盈余量 = 30.000000000000（最小奇盈数）；不超过 25 的盈数 = 12、18、20、24。
注意事项：盈数判断用的是含 n 的因子和 σ(n)，而亲和数、社交数工具用的是真因子和（σ − n）；完美数盈余恰为 0，被归为单独一类；过大的 n（超出 200000）会被拒绝以控制枚举耗时；奇盈数必须含至少 3 个不同的奇质因子（最小的 3³·5·7），因此前几个奇盈数出现得很晚。
相关：亏数工具给出另一半分类；完美数工具覆盖 σ = 2n 的特例；半完全数与怪异数工具研究盈数的进一步细分——盈数里能被真因子子集凑出自身的是半完全数，凑不出的极少数叫怪异数；质因数分解工具可展开 σ(n) 的计算链。
什么是盈数计算器？
盈数（abundant number）：真因子之和大于自身的正整数，等价于 σ(n) > 2n，盈余度 abundance(n) = σ(n) − 2n。最小的盈数是 12：真因子 1+2+3+4+6 = 16，盈余 4；25 以内盈数只有 12、18、20、24 四个，此后密度迅速上升。
盈数一点不稀有：Davenport 在 1933 年证明了盈数的「自然密度」存在，数值约 0.2476——每四个整数里约有一个是盈数。与之互补，亏数密度约 0.7524，而两者之间的完全数密度为零——盈亏是常态，恰好持平才是奇迹。
偶盈数俯拾皆是（所有 12 的倍数都盈），奇盈数却极为罕见：最小的奇盈数是 945 = 3³×5×7，它的 σ(945) = 1920，盈余 30。奇盈数是否存在无穷多个、其密度极限是多少，是 Erdős 开创的分布理论的经典议题。
盈数有一个优雅的封闭性：盈数的任何正整数倍仍是盈数。由 σ 的性质 σ(kn) ≥ k·σ(n)，若 σ(n) > 2n 则 σ(kn) ≥ k·σ(n) > 2kn——所以从 12 盈可以立刻断言 24、36、48、60……全都盈，无需逐个验算。
本工具对 1 ≤ n ≤ 10^9 分解素因子、用乘性公式计算 σ(n) 与盈余度，输出盈/亏/完全三分类、真因子列表（n ≤ 10^6 时），并可枚举 2 ≤ limit ≤ 10^6 内的全部盈数。
abundance(n) = σ(n) − 2n > 0；abundance(12) = σ(12) − 24 = 28 − 24 = 4
σ(n) 为全部正因子之和（含 n 自身），真因子和 = σ(n) − n；abundance > 0 为盈数、= 0 为完全数、< 0 为亏数（取绝对值称 deficiency）。
如何使用盈数计算器
- 1
输入正整数 n（1 到 10^9）。
- 2
点击计算得到 σ(n)、盈余度 abundance 与盈/亏/完全分类，以及真因子列表。
- 3
切换到枚举模式输入上限 limit，得到区间内全部盈数列表与个数统计。
计算示例
例 1n = 12
真因子 1、2、3、4、6 之和 = 16，σ(12) = 28，abundance = 28 − 24 = 4——最小盈数，盈余恰好等于 4。
例 2n = 24
σ(24) = 60，abundance = 60 − 48 = 12；它是 12 的倍数，由封闭性不用算也知道必盈，盈余翻倍。
例 3n = 945
945 = 3³×5×7，σ = 13×6×8 = 1920，abundance = 1920 − 1890 = 30——最小的奇盈数；945 之前所有盈数全是偶数。
注意事项
盈数与「因子很多」不完全等价：36 的真因子多达 8 个且盈（abundance 19），但盈的关键是因子「加得够多」而非「个数多」——素数幂 p^k 无论多大都是亏数。
倍数封闭只对盈数成立且方向单一：盈数的倍数必盈；但两个盈数之积、两个亏数之积是否盈没有简单规律（4 与 5 都是亏数，乘积 20 却盈）。
「本原盈数」（primitive abundant，不能被更小盈数整除）是更有信息量的分类：每个盈数都是某个本原盈数的倍数，本原盈数由形如 2^k·p 的家族与零散奇数构成。
盈数是 aliquot 链增长的动力：链上某步若遇到强盈数，σ(n)/n 比值抬升，链更可能攀升；社交环、亲和对的成员几乎都有可观盈余。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-02
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引用本页
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Calcton. 盈数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/abundant-numbers, 2026-10-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-02。
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