算术-几何平均（AGM）计算器
拉格朗日 1784 年发现、高斯 1799 年独立证明的迭代奇迹：算术平均与几何平均反复互相平均，迅速收敛到同一个数——AGM。它是计算 π 最快算法的引擎。
什么是算术-几何平均 AGM 计算器？
AGM 是怎么算的：两个正数反复「平均」：算术平均取中间、几何平均取 √(ab)，再对这两个新数重复。两列数单调逼近并最终相遇，极限记作 AGM(a,b)。AM 总在 GM 之上，所以上列递减、下列递增，夹逼出极限。
为什么收敛快得惊人：二次收敛：每迭代一轮，有效数字大约翻一倍。从 1 和 √2 出发，4 轮就达到双精度极限（15–16 位）。
AGM 和 π 什么关系：高斯证明 M(1,√2) 与完全椭圆积分 K(1/√2) 满足 M(1,√2)·K = π/2。Gauss–Legendre 算法借助 AGM 迭代，每轮让 π 的正确位数翻倍——纪录级 π 计算都用它或其近亲。
高斯常数是什么：G = 1/M(1,√2) ≈ 0.8346268，是椭圆积分理论里的基本常数，地位类似 γ 之于解析数论。
a_{k+1} = (a_k + b_k)/2，b_{k+1} = √(a_k·b_k)，收敛到 M(a,b)
二次收敛：每轮有效数字翻倍；M(a,b) = π / (2∫₀^{π/2} dθ/√(a²cos²θ+b²sin²θ))
如何使用算术-几何平均 AGM 计算器
- 1
输入两个正数 a、b（默认 1 与 √2，即高斯常数情形）。
- 2
点击「计算」，查看 AGM 值与迭代步数。
- 3
观察迭代轨迹：两列数字从两侧向中间夹逼。
- 4
换成悬殊的输入（如 1 和 100）看步数如何温和增长。
计算示例
例 1例：AGM(1, √2)
第 1 轮：a=1.2071、b=1.1892；第 2 轮：a=1.19816、b=1.19815；第 4 轮达到 1.19814023473559 双精度极限。高斯常数 G = 1/1.19814 ≈ 0.8346268。
注意事项
两数必须为正：含零或负数时几何平均无定义。
输入顺序无关：AGM(a,b) = AGM(b,a)。
双精度下第 4–6 轮即饱和，继续迭代数值不变。
AGM 对应的是第一类完全椭圆积分；第二类椭圆积分由 Brent-Salamin 变体处理。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-18
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Calcton. 算术-几何平均 AGM 计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/arithmetic-geometric-mean, 2026-09-18.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-18。
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