伯努利数（Bernoulli Numbers）计算器
伯努利数 Bₙ 是由生成函数 x/(eˣ−1) 定义的分数序列，出现在 ζ(2n)、费马–巴克尔公式（幂和）、泰勒展开等无数场合，是分析学与数论的通用粘合剂。
前 20 个非零 Bernoulli 数（B_1 采用 −1/2 约定）
B30 = 8615841276005/14322；B60 的分子是一个 43 位大整数（分母 56786730，符合 von Staudt–Clausen 定理）。
什么是第 n 项伯努利数计算器？
伯努利数（Bernoulli numbers）是由生成函数 x/(eˣ−1) 展开系数定义的分数序列：B₀ = 1、B₁ = −1/2、B₂ = 1/6、B₄ = −1/30、B₆ = 1/42、B₈ = −1/30、B₁₀ = 5/66、B₁₂ = −691/2730。奇数下标中除 B₁ 外全部为零。
伯努利数的两大舞台：其一是幂和——Σkᵐ 可写成 Bₖ 的多项式（Faulhaber 公式），例如 Σk² = n³/3 + n²/2 + n/6 恰含 B₂ = 1/6；其二是 ζ 函数——B₂ₙ 与 ζ(2n) 通过 B₂ₙ = (−1)ⁿ⁺¹·2(2n)!·ζ(2n)/(2π)²ⁿ 相连，B₂ = 1/6 给出 ζ(2) = π²/6，B₄ = −1/30 给出 ζ(4) = π⁴/90。
Bₙ 由隐式递推确定：Σₖ₌₀ⁿ C(n+1,k)·Bₖ = 0（n ≥ 1），即 Bₙ = −Σₖ₌₀ⁿ⁻¹ C(n+1,k)·Bₖ / (n+1)，B₀ = 1
指数生成函数 x/(eˣ−1) = Σ Bₙ·xⁿ/n!；本工具按现代约定取 B₁ = −1/2（另一约定取 +1/2，只影响 B₁ 一项）。
如何使用第 n 项伯努利数计算器
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在输入框填入 n（0 到 60 的整数），点击「计算」。
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结果区给出 Bₙ 的精确分数（分子/分母）与小数近似。
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下方表格列出前 20 个非零伯努利数便于对照。
- 4
注意 B₁ 按现代约定显示 −1/2；若你使用的教材取 B₁ = +1/2，其余各项完全一致。
计算示例
例 1ζ(2) 的来源
B₂ = 1/6。代入 B₂ₙ = (−1)ⁿ⁺¹·2(2n)!·ζ(2n)/(2π)²ⁿ：n = 1 时 1/6 = 2·2!·ζ(2)/(2π)²，解出 ζ(2) = π²/6，这正是巴塞尔问题的答案。
例 2幂和里的伯努利数
Σₖ₌₁ⁿ k³ = B₀·n⁴/4 + 4B₁·n³/3 + 6B₂·n²/2 = n⁴/4 − n³/2 + n²/2 = [n(n+1)/2]²，即立方和等于平方和的平方——B₀、B₁、B₂ 三个伯努利数撑起了整条公式。
例 3大下标
B₃₀ = 8615841276005/14322，分子 13 位；B₆₀ 的分子是一个 43 位大整数，分母 56786730——按 von Staudt–Clausen 定理，B₂ₙ 的分母恰是所有满足 (p−1)|2n 的素数 p 之积。
注意事项
B₁ 的两种约定：取 −1/2（生成函数 x/(eˣ−1)，现代主流）或 +1/2（x/(1−e⁻ˣ)，部分老教材）。除 B₁ 外两者完全相同；本工具采用 −1/2。
奇数下标 B₃、B₅、B₇… 全为零，这不是巧合而是生成函数的对称性：x/(eˣ−1) − x/2 是偶函数。
von Staudt–Clausen 定理保证 B₂ₙ 都是「整数值/平方自由分母」的分数：分母 = Π{p 素数 : (p−1)|2n}。例如 B₆ 的分母 42 = 2×3×7，对应 p = 2, 3, 7（p−1 = 1, 2, 6 都整除 6）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-24
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Calcton. 第 n 项伯努利数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/bernoulli-number, 2026-09-24.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-24。
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